Cho n là số nguyên dương thoả mãn Tìm số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niu tơn P(x)=

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Tổ hợp - Xác suất

Câu hỏi số 14685:

Cho n là số nguyên dương thoả mãn $\small C^{1}_{n}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=255$

Tìm số hạng chứa $\small x^{14}$ trong khai triển nhị thức Niu tơn P(x)= $\small (1+x+3x^{2})^{n}$

A. $\small (C^{7}_{8}C^{1}_{7}3^{7}+C^{8}_{8}C^{3}_{8}3^{6})x^{14}$

B. $\small (C^{7}_{8}C^{0}_{7}3^{7}+C^{8}_{8}C^{2}_{8}3^{6})x^{14}$

C. $\small (C^{8}_{8}C^{0}_{7}3^{8}+C^{8}_{8}C^{2}_{8}3^{6})x^{14}$

D. $\small (C^{7}_{8}C^{0}_{7}3^{7}+C^{7}_{8}C^{3}_{8}3^{5})x^{14}$

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:14685

Giải chi tiết

Với n nguyên dương ta có:

$\small C_{n}^{0}+$ $\small C^{1}_{n}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=(1+1)^{n}=2^{n}$

=> $\small C^{1}_{n}+C_{n}^{2}+...+C_{n}^{n-1}+C_{n}^{n}=2^{n}-1$

Từ giả thiết ta có: $\small 2^{n}-1=255<=>2^{n}=256=2^{8}<=>n=8$

P(x)= $\small (1+x+3x^{2})^{8}=\sum_{k=0}^{8}C_{8}^{k}(3x^{2}+x)^{k}$

= $\small \sum_{k=0}^{8}C_{8}^{k}(\sum_{m=0}^{k}C_{k}^{m}(3x^{2})^{k-m}x^{m})=\sum_{k=0}^{8}\sum_{m=0}^{k}C^{k}_{8}C^{m}_{k}3^{k-m}.x^{2k-m}$

Yêu cầu bài toán <=> $\small \left\{\begin{matrix} 2k-m=14\\0\leq m\leq k\leq 8 \\ m,k\in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix} m=0\\k=7 \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} m=2\\k=8 \end{matrix}\right.$

Vậy số hạng chứa $\small x^{14}$ là: $\small (C^{7}_{8}C^{0}_{7}3^{7}+C^{8}_{8}C^{2}_{8}3^{6})x^{14}$

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.