Cho hai số thực x#0,y#0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện: (x+y)xy=x2+y2-xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=+

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 14699:

Cho hai số thực x#0,y#0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện:

(x+y)xy=x²+y²-xy.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= $\frac{1}{x^{3}}$ + $\frac{1}{y^{3}}$

A. A_max=16

B. A_max=12

C. A_max=14

D. A_max=6

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:14699

Giải chi tiết

Từ giả thiết:

(x+y)xy=x²+y² <=> $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{1}{x^{2}}$ + $\frac{1}{y^{2}}$ - $\frac{1}{xy}$

Khi đó , đặt a= $\frac{1}{x}$ , b= $\frac{1}{y}$ ta nhận được điều kiện:

a+b=a²+b²-ab <=> a+b=(a+b)²-3ab ≥(a+b)²-3 $(\frac{a+b}{2})^{2}$

<=>(a+b)²-4(a+b) ≤0 <=>0≤a+b≤4

Từ đó: A= $\frac{1}{x^{3}}$ + $\frac{1}{y^{3}}$ =a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)=(a+b)² ≤16

Vậy ta có A_max=16 đạt được khi

$\left\{\begin{matrix} a=b\\a+b=4 \end{matrix}\right.$ <=>a=b=2<=> $\frac{1}{x}$ = $\frac{1}{y}$ =2<=>x=y= $\frac{1}{2}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.