Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip (E): +=1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

Câu hỏi số 15092:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho Elip (E): $\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{1}$ =1. Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc (E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

A. A( $\sqrt{3}$ ; $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ) và B( $\sqrt{3}$ ;- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ )

B. A( $\sqrt{2}$ ; $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ) và B( $\sqrt{2}$ ;- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ) hoặc A( $\sqrt{2}$ ;- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ) và B( $\sqrt{2}$ ; $\frac{\sqrt{2}}{2}$ )

C. A( $\sqrt{2}$ ;1) và B( $\sqrt{2}$ ;-1)

D. A( $\sqrt{2}$ ; $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ) và B( $\sqrt{2}$ ;- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ )

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:15092

Giải chi tiết

Với điểm A(x;y), 0<x<2 thuộc (E) thì:

$\frac{x^{2}}{4}$ + $\frac{y^{2}}{1}$ =1 <=> x²+4y²=4 <=>4y²=4-x^{2 (*)}

Từ giả thiết:

+B có hoành độ dương và tam giác OAB cân tại O nên B(x;-y) và:

AB= $\sqrt{(y+y)^{2}}$ = $\sqrt{4y^{2}}$ = $\sqrt{4-x^{2}}$

+Với H là trung điểm của AB thì OH ⊥AB và OH=x

Khi đó:

S_∆OAB= $\frac{1}{2}$ OH.AB= $\frac{1}{2}$ x. $\sqrt{4-x^{2}}$ = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{x^{2}(4-x^{2})}$ ≤ $\frac{1}{2}$ . $\frac{x^{2}+(4-x^{2})}{2}$ =1

Tức ∆OAB có diện tích lớn nhất bằng 1 và đạt được khi:

x²=4-x²<=> x²=2 <=> x= $\sqrt{2}$ => 4y²=2 <=> y=± $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy ta được:

A( $\sqrt{2}$ ; $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ) và B( $\sqrt{2}$ ;- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ) hoặc A( $\sqrt{2}$ ;- $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ) và B( $\sqrt{2}$ ; $\frac{\sqrt{2}}{2}$ )

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.