Giải hệ phương trình : ; (x; y ∈ R)

Câu hỏi số 15372:

Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{matrix}5x^{2}y-4xy^{2}+3y^{3}-2(x+y)=0\\xy(x^{2}+y^{2})+2=(x+y)^{2}\end{matrix}\right.$ ; (x; y ∈ R)

A. Hệ phương trình có bốn cặp nghiệm: (1;1), (-1; -1), ( $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ ; $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ), ( - $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ ; $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ).

B. Hệ phương trình có bốn cặp nghiệm: (1;1), (-1; -1), ( $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ ; $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ), ( $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ ; - $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ).

C. Hệ phương trình có bốn cặp nghiệm: (1;1), (1; -1), ( $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ ; $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ), ( - $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ ; - $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ).

D. Hệ phương trình có bốn cặp nghiệm: (1;1), (-1; -1), ( $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ ; $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ), ( - $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ ; - $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ).

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:15372

Giải chi tiết

Kí hiệu các phương trình trong hệ theo thứ tự là (1), (2).

Biến đổi phương trình (2) về dạng : xy(x² + y²) + 2 = x² + y² + 2xy

⇔ (xy – 1)(x² + y²) + 2 – 2xy = 0

⇔ (xy – 1)( x² + y²) – 2(xy – 1) = 0

⇔ (xy – 1)( x² + y² – 2) = 0

⇔ $\begin{bmatrix}xy-1=0\\x^{2}+y^{2}-2=0\end{bmatrix}$

⇔ $\begin{bmatrix}xy=1\\x^{2}+y^{2}=2\end{bmatrix}$

Ta lần lượt:

+ Với xy = 1 thì (1) có dạng : 5x – 4y + 3y³ – 2(x + y) = 0

⇔ 3y³ – 6y + 3x = 0

⇔ y³ – 2y + $\frac{1}{y}$ = 0

⇔ y⁴ – 2y² + 1 = 0 ⇔ ( y² – 1)² = 0

⇔ y² = 1

⇔ $\begin{bmatrix}y=1\Rightarrow x=1\\y=-1\Rightarrow x=-1\end{bmatrix}$

+ Với x² + y² = 2 thì (1) có dạng : 3y(x² + y²) + 2x²y – 4xy² - 2(x + y) = 0

⇔ 4y + 2x²y – 4xy² – 2x = 0

⇔ 2y + xy(x – 2y) – x = 0

⇔ (xy – 1)(x – 2y) = 0

⇔ $\begin{bmatrix}xy-1=0\\x-2y=0\end{bmatrix}$

⇔ $\begin{bmatrix}xy=1\\x=2y\end{bmatrix}$ (trong đó xy =1 đã xét)

Khi đó x² + y² = 2 có dạng : (2y)² + y² = 2

⇔ 5y² = 2

⇔ $\begin{bmatrix}y=\frac{\sqrt{10}}{5}\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{10}}{5}\\y=-\frac{\sqrt{10}}{5}\Rightarrow x=-\frac{2\sqrt{10}}{5}\end{bmatrix}$

Vậy, hệ phương trình có bốn cặp nghiệm: (1;1), (-1; -1), ( $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ ; $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ), ( - $\frac{2\sqrt{10}}{5}$ ; - $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.