Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: ; (x; y ∈ R)

Câu hỏi số 15373:

Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: $\left\{\begin{matrix}2x^{3}-(y+2)x^{2}+xy=m\\x^{2}+x-y=1-2m\end{matrix}\right.$ ; (x; y ∈ R)

A. Với m ≤ $\frac{-2-\sqrt{3}}{2}$ hệ đã cho có nghiệm.

B. Với m ≤ $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ hệ đã cho có nghiệm.

C. Với m ≤ $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ hệ đã cho có nghiệm.

D. Với m ≤ $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ hệ đã cho có nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:15373

Giải chi tiết

Viết lại phương trình dưới dạng : $\left\{\begin{matrix}(2x^{3}-2x^{2})-(x^{2}y-xy)=m\\(x^{2}-x)+(2x-y)=1-2m\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}(x^{2}-x)(2x-y)=m\\(x^{2}-x)+(2x-y)=1-2m \end{matrix}\right.$

Đặt : $\left\{\begin{matrix}u=x^{2}-x\\v=2x-y\end{matrix}\right.$ , u ≥ - $\frac{1}{4}$ hệ được biến đổi về dạng :

$\left\{\begin{matrix}uv=m\\u+v=1-2m\end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix}u(1-2m-u)=m\\v=1-2m-u\end{matrix}\right.$ =>u² + (2m – 1)u + m = 0 (1)

Vậy, hệ đã cho có nghiệm khi phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn u ≥ - $\frac{1}{4}$

Với u ≥ - $\frac{1}{4}$ biến đổi tiếp (1) về dạng m = $\frac{-u^{2}+u}{2u+1}$

Xét hàm số f(u) = $\frac{-u^{2}+u}{2u+1}$ trên [- $\frac{1}{4}$ ; + ∞), ta có :

f’(u) = $\frac{2u^{2}+2u-1}{(2u+1)^{2}}$ , f’(u) = 0 ⇔ 2u² + 2u – 1 = 0 (u ≥ - $\frac{1}{4}$ ) ⇔ u₀ = $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Bảng biến thiên :

Suy ra điều kiện cần tìm là : m ≤ f(u₀) ⇔ m ≤ f( $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ )= $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy, với m ≤ $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ hệ đã cho có nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.