Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(3; - 1; 1), đường thẳng ∆: = = , mặt phẳng (P): x – y + z – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A nằm trong (P) và hợp với ∆ một góc 450.

Câu hỏi số 15980:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(3; - 1; 1), đường thẳng ∆: $\frac{x}{1}$ = $\frac{y-2}{2}$ = $\frac{z}{2}$ , mặt phẳng (P): x – y + z – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A nằm trong (P) và hợp với ∆ một góc 45⁰.

A. Phương trình d : $\left\{\begin{matrix}x=3+t\\y=-1+t\\z=1\end{matrix}\right.$ ; $\left\{\begin{matrix}x=3-7t\\y=-1+8t\\z=1+15t\end{matrix}\right.$ .

B. Phương trình d : $\left\{\begin{matrix}x=3+t\\y=1+t\\z=1\end{matrix}\right.$ ; $\left\{\begin{matrix}x=3-7t\\y=-1+8t\\z=1+15t\end{matrix}\right.$ .

C. Phương trình d : $\left\{\begin{matrix}x=3+t\\y=-1+t\\z=1\end{matrix}\right.$ ; $\left\{\begin{matrix}x=3+7t\\y=-1+8t\\z=1+15t\end{matrix}\right.$ .

D. Phương trình d : $\left\{\begin{matrix}x=3+t\\y=-1+t\\z=1\end{matrix}\right.$ ; $\left\{\begin{matrix}x=3-7t\\y=1+8t\\z=1+15t\end{matrix}\right.$ .

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:15980

Giải chi tiết

Từ ∆ => $\overrightarrow{u_{\Delta }}$ = (1; 2; 2)

(P) => $\overrightarrow{n_P}$ = (1; - 1; 1)

Gọi $\overrightarrow{u_d}$ (a, b , c) (a, b , c không đồng thời bằng 0)

Do d nằm trong (P) => $\overrightarrow{u_d}$ . $\overrightarrow{n_P}$ = 0 ⇔ a – b + c = 0 (1) ⇔ b = a + c

Có cos45⁰= $\frac{|\overrightarrow{u_{d}}.\overrightarrow{u_{\Delta }}|}{|\overrightarrow{u_{d}}|.|\overrightarrow{u_{\Delta }}|}$ = $\frac{|a+2b+2c|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}.\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

⇔ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{|a+2b+2c|}{3\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

⇔ 3 $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ = √2|a + 2b + 2c| ⇔ 9(a² + b² + c²) = 2(a + 2b + 2c)² ( 2)

Thay (1) vào (2)

=> 9[a² + (a + c)² + c²] = 2[a + 2(a + c) + 2c]²

⇔ 9(a² + a² + 2ac + c² + c²) = 2(3a + 4c)²

⇔ 18a² + 18ac + 18c² = 18a² + 48ac + 32c²

⇔ 30ac + 14c² = 0

⇔ $\begin{bmatrix}c=0\\a=-\frac{7}{15}c\end{bmatrix}$

Với c = 0 => b = a chọn a = 1 => $\overrightarrow{u_d}$ = (1; 1; 0); d qua A(3; - 1; 1)

=> phương trình d: $\left\{\begin{matrix}x=3+t\\y=-1+t\\z=1\end{matrix}\right.$

Với a = - $\frac{7}{15}$ c => b = $\frac{8}{15}$ c chọn c = 15 => $\overrightarrow{u_d}$ = (- 7; 8 ; 15); d qua A(3; - 1; 1)

=> phương trình d : $\left\{\begin{matrix}x=3-7t\\y=-1+8t\\z=1+15t\end{matrix}\right.$

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.