Cho điểm M(2;1). Đường thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A(a;0), B(0;b) với a,b>0. Lập phương trình đường thẳng (d) sao cho: a. Diện tích ∆OAB nhỏ nhất. b. OA+OB nhỏ nhất. c. + nhỏ nhất.

Câu hỏi số 16301:

Cho điểm M(2;1). Đường thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại A(a;0), B(0;b) với a,b>0. Lập phương trình đường thẳng (d) sao cho:

a. Diện tích ∆OAB nhỏ nhất.

b. OA+OB nhỏ nhất.

c. $\frac{1}{OA^{2}}$ + $\frac{1}{OB^{2}}$ nhỏ nhất.

A. a.(d): 3x+y-2=0 b.(d): x+(2+ $\sqrt{2}$ )y=0 c.(d): x-y=0

B. a.(d): x+y-1=0 b.(d): $\sqrt{2}$ x+ $\sqrt{2}$ y-5-3 $\sqrt{2}$ =0 c.(d): x-y+10=0

C. a.(d): 3x+2y-2=0 b.(d): $\sqrt{2}$ x+(2+ $\sqrt{2}$ )y-5-3 $\sqrt{2}$ =0 c.(d): x-y+7=0

D. a.(d): x+2y-4=0 b.(d): (1+ $\sqrt{2}$ )x+(2+ $\sqrt{2}$ )y-5-3 $\sqrt{2}$ =0 c.(d): 2x+y-5=0

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:16301

Giải chi tiết

Từ giả thiết, ta được (d): $\frac{x}{a}$ + $\frac{y}{b}$ =1

Vì M∈(d) nên $\frac{2}{a}$ + $\frac{1}{b}$ =1 (1)

a. Ta có. diện tích ∆OAB được cho bởi:

S= $\frac{1}{2}$ OA.OB= $\frac{ab}{2}$

Từ (1) suy ra

1= $\frac{2}{a}$ + $\frac{1}{b}$ ≥2 $\sqrt{\frac{2}{a}.\frac{1}{b}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{ab}}$ <=> ab≥2 <=> S≥1.

Vậy S_min=1 đạt được khi: $\frac{2}{a}$ = $\frac{1}{b}$ = $\frac{1}{2}$ <=> $\left\{\begin{matrix} a=4\\b=2 \end{matrix}\right.$

Khi đó phương trình đường thẳng (d): x+2y-4=0

b. Từ (1) ta được:

a= $\frac{2b}{b-1}$ => điều kiện b>1

Khi đó:

OA+OB= $\frac{2b}{b-1}$ +b= $\frac{2}{b-1}$ +b+2

= $\frac{2}{b-1}$ +b-1+3≥2 $\sqrt{\frac{2}{b-1}.(b-1)}$ +3=2 $\sqrt{2}$ +3.

Vậy (OA+OB)_min=2 $\sqrt{2}$ +3, đạt được khi: $\frac{2}{b-1}$ =b-1 <=> $\left\{\begin{matrix} a=2+\sqrt{2}\\b=1+\sqrt{2} \end{matrix}\right.$

Khi đó phương trình đường thẳng (d): (1+ $\sqrt{2}$ )x+(2+ $\sqrt{2}$ )y-5-3 $\sqrt{2}$ =0

c. Ta có: $\frac{1}{OA^{2}}$ + $\frac{1}{OB^{2}}$ = $\frac{1}{a^{2}}$ + $\frac{1}{b^{2}}$ .

Nhận xét rằng:

(2²+1¹).( $\frac{1}{a^{2}}$ + $\frac{1}{b^{2}}$ )≥ $(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})^{2}$ =1

=> $\frac{1}{a^{2}}$ + $\frac{1}{b^{2}}$ ≥ $\frac{1}{5}$

Vậy ( $\frac{1}{OA^{2}}$ + $\frac{1}{OB^{2}}$ )min= $\frac{1}{5}$ , đạt được khi:

$\left\{\begin{matrix} \frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1\\2a=b \end{matrix}\right.$ <=> $\left\{\begin{matrix} a=\frac{5}{2}\\b=5 \end{matrix}\right.$

Khi đó phương trình đường thẳng (d): 2x+y-5=0

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.