Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: x3 + 8y3 + 27z3 – 18xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x2 + 4y2 + 9z2

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 16639:

Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: x³+ 8y³ + 27z³– 18xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x²+ 4y²+ 9z²

A. MinP= $\small \frac{1}{3}$

B. MinP=1

C. MinP=2

D. MinP=3

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:16639

Giải chi tiết

Ta có: 1= X³+ 8y³ + 27z³– 18xyz = (x+2y+3z)(x²+ 4y²+ 9z² - 2xy - 3xz - 6yz) (1)

Mà: x²+ 4y²+ 9z² - 2xy - 3xz - 6yz >0 nên x+2y+3z>0

Đặt: t=x+2y+3z (t>0)

t² = (x+2y+3z)²= x²+ 4y²+ 9z²+2(2xy + 3xz + 6yz) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

P= $\small \frac{t^{2}}{3}+\frac{2}{3t}$ với t>0

P= $\small \frac{t^{2}}{3}+\frac{2}{3t}$ = $\small \frac{t^{2}}{3}+\frac{1}{3t}+\frac{1}{3t}\geq 3\sqrt[3]{\frac{t^{2}}{3}.\frac{1}{3t}.\frac{1}{3t}}=1$

Đẳng thức xảy ra khi t=1 (chẳng hạn khi x=1; y=z=0)

Vậy minP=1

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.