Cho hàm số: \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) (C). Tìm m để đường thẳng d: \(y = - 3x + m\) cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường thẳng \(\Delta :\,\,x - y - 2 = 0\).

Câu 190639: Cho hàm số: \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) (C). Tìm m để đường thẳng d: \(y = - 3x + m\) cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường thẳng \(\Delta :\,\,x - y - 2 = 0\).

A. \(m = 7\)

B. \(m = 3\)

C. \(m = - 3\)

D. \(m = - 7\)

Câu hỏi : 190639

Phương pháp giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình (*).

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0.\)

Chú ý tập xác định của các hàm số.

Xác định tọa độ giao điểm \(A(x_1; \, \, y_1)\) và \(B(x_2; \, \, y_2)\) của hai đồ thị hàm số.

Áp dụng hệ thức Vi-et đối với phương trình (*) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

Gọi \(G(x_G; \, \, y_G)\) là trọng tâm tam giác \(OAB\) từ đó suy ra tọa độ điểm \(G.\)

Điểm \(G\) thuộc đường thẳng \(\Delta\) \(\Rightarrow\) tọa độ điểm \(G\) thỏa mãn phương trình đường thẳng \(\Delta.\)

Từ đó suy ra giá trị \(m\) cần tìm.

Đáp án : D
(19) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(x \ne 1\).

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d là:

\(2x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( { - 3x + m} \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) pt (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 12\left( {m + 1} \right) > 0\\3 - \left( {m + 1} \right) + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 10m - 11 > 0\\3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 11\\m < - 1\end{array} \right.\)

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*) thì hai giao điểm của d và (C) là: \(A\left( {{x_1}; - 3{x_1} + m} \right)\) và \(B\left( {{x_2}; - 3{x_2} + m} \right)\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m + 1}}{3}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{m + 1}}{3}\end{array} \right.\).

Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{3} = \dfrac{{ - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2m}}{3}\end{array} \right.\)(1)

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào hệ thức (1) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{m + 1}}{9}\\{y_G} = \dfrac{{m - 1}}{3}\end{array} \right.\)

Điểm G thuộc đường thẳng \(\Delta :\,\,x - y - 2 = 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{{m + 1}}{9} - \dfrac{{m - 1}}{3} - 2 = 0 \Leftrightarrow 2m = - 14 \Leftrightarrow m = - 7\left( {tm} \right)\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.