Cho hàm số: $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ (C). Tìm m để đường thẳng d: $y = - 3x + m$ cắt (C)

Câu hỏi số 190639:

Vận dụng cao

Cho hàm số: $y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}$ (C). Tìm m để đường thẳng d: $y = - 3x + m$ cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường thẳng $\Delta :\,\,x - y - 2 = 0$ .

$m = 7$

$m = 3$

$m = - 3$

$m = - 7$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:190639

Phương pháp giải

Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình (*).

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0.$

Chú ý tập xác định của các hàm số.

Xác định tọa độ giao điểm $A(x_1; \, \, y_1)$ và $B(x_2; \, \, y_2)$ của hai đồ thị hàm số.

Áp dụng hệ thức Vi-et đối với phương trình (*) ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..$

Gọi $G(x_G; \, \, y_G)$ là trọng tâm tam giác $OAB$ từ đó suy ra tọa độ điểm $G.$

Điểm $G$ thuộc đường thẳng $\Delta$ $\Rightarrow$ tọa độ điểm $G$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $\Delta.$

Từ đó suy ra giá trị $m$ cần tìm.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: $x \ne 1$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d là:

$2x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( { - 3x + m} \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)$

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ pt (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 1

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 12\left( {m + 1} \right) > 0\\3 - \left( {m + 1} \right) + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 10m - 11 > 0\\3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 11\\m < - 1\end{array} \right.$

Gọi ${x_1};\,\,{x_2}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*) thì hai giao điểm của d và (C) là: $A\left( {{x_1}; - 3{x_1} + m} \right)$ và $B\left( {{x_2}; - 3{x_2} + m} \right)$ .

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m + 1}}{3}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{m + 1}}{3}\end{array} \right.$ .

Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{3} = \dfrac{{ - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2m}}{3}\end{array} \right.$ (1)

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào hệ thức (1) ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{m + 1}}{9}\\{y_G} = \dfrac{{m - 1}}{3}\end{array} \right.$

Điểm G thuộc đường thẳng $\Delta :\,\,x - y - 2 = 0$

$\Rightarrow \dfrac{{m + 1}}{9} - \dfrac{{m - 1}}{3} - 2 = 0 \Leftrightarrow 2m = - 14 \Leftrightarrow m = - 7\left( {tm} \right)$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.