Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang cân, $CD = 2AB = 2BC = 2a,$ $SA = SB = SC = SD$ . Biết góc

Câu hỏi số 195660:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang cân, $CD = 2AB = 2BC = 2a,$ $SA = SB = SC = SD$ . Biết góc giữa các cạnh bên và đáy bằng ${60^0}$ . Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:

\frac{3 a^{3}}{4}

$\dfrac{{3{a^3}}}{4}$

\frac{2 a^{3}}{3}

$\dfrac{{2{a^3}}}{3}$

\frac{a^{3}}{2}

$\dfrac{{{a^3}}}{2}$

a^{3}

${a^3}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:195660

Giải chi tiết

Gọi O là trung điểm của CD. Dễ thấy ABCO là hình bình hành $\Rightarrow AO = BC = \dfrac{1}{2}CD \Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại A

$\Rightarrow \widehat {CAD} = {90^0}$

Tương tự ta chứng minh được $\widehat {CBD} = {90^0}$

$\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang cân ABCD

Vì $SA = SB = SC = SD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$ $\Rightarrow SO \bot OA \Rightarrow \Delta SOA$ vuông tại O

$\Rightarrow OA$ là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD) $\Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;OA} \right)} = \widehat {SAO} = {60^0}$

Tam giác OBC có: $BC = \dfrac{1}{2}CD = OB = OA = OC = a \Rightarrow \Delta OBC$ đều cạnh a.

Kẻ $BH \bot OC \Rightarrow BH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$\Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}BH\left( {AB + CD} \right)$ $= \dfrac{1}{2}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\left( {a + 2a} \right) = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Xét tam giác vuông SOA ta có: $SO = OA.\tan {60^0} = a\sqrt 3$

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}$ $= \dfrac{1}{3}a\sqrt 3 .\dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{4}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.