Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A’ cách đều các đỉnh A,

Câu hỏi số 195661:

Vận dụng

Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A’ cách đều các đỉnh A, B, C. Các cạnh bên tạo với đáy góc \({60^0}\). Thể tích khối chóp \(ACB'C'\) là:

A. \(\dfrac{{3{a^3}}}{4}\)

B. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)

D. \({a^3}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:195661

Giải chi tiết

Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Vì A’ cách đều A, B, C nên \(A'O \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow OA\) là hình chiếu vuông góc của A’A trên (ABC) \( \Rightarrow \widehat {\left( {A'A;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'A;OA} \right)} = \widehat {A'AO} = {60^0}\)

Tam giác ABC đều nên \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OA = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(A'O \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'O \bot OA \Rightarrow \Delta A'OA\) vuông tại O

\( \Rightarrow A'O = OA.\tan 60 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\sqrt 3 = a\)\( = d\left( {B';\left( {ABC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {A'B'C'} \right)} \right)\)

\({S_{\Delta ABC}} = {S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{B'ABC}} = \dfrac{1}{3}d\left( {B';\left( {ABC} \right)} \right).{S_{\Delta ABC}}\)\( = \dfrac{1}{3}a\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

\({V_{A.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {A'B'C'} \right)} \right).{S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

\({V_{ABC.A'B'C'}} = A'O.{S_{\Delta ABC}} = a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy \({V_{ACB'C'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - {V_{B'.ABC}} - {V_{A.A'B'C'}}\)\( = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4} - \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} - \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.