Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình \(a{\ln ^2}x + b\ln x + 5 = 0\) có hai nghiệm phân

Câu hỏi số 196712:

Vận dụng

Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình \(a{\ln ^2}x + b\ln x + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt\({x_1},{x_2}\)và phương trình\(5{\log ^2}x + b\log x + a = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_3},{x_4}\) thỏa mãn \({x_1}{x_2} > {x_3}{x_4}\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({S_{\min }}\) của \(S = 2a + 3b\).

A. \({S_{\min }} = 30\)

B. \({S_{\min }} = 25\)

C. \({S_{\min }} = 33\)

D. \({S_{\min }} = 17\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:196712

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Viét cho phương trình bậc hai để chuyển điều kiện của bài toán về điều kiện của a, b, từ đó tìm GTNN của a và b.

Giải chi tiết

Áp dụng định lý Viét cho các phương trình bậc hai đã cho (ẩn là lnx và logx), ta có

\(\ln \left( {{x_1}{x_2}} \right) = \ln {x_1} + \ln {x_2} = - \dfrac{b}{a}\)

\(\log \left( {{x_3}{x_4}} \right) = \log {x_3} + \log {x_4} = - \dfrac{b}{5}\)

Ta có

\({x_1}{x_2} > {x_3}{x_4} \Leftrightarrow \ln \left( {{x_1}{x_2}} \right) > \ln 10.\log \left( {{x_3}{x_4}} \right)\)\( \Leftrightarrow - \dfrac{b}{a} > \ln 10.\left( { - \dfrac{b}{5}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{b}{a} < \dfrac{{\ln 10.b}}{5} \Leftrightarrow a > \dfrac{5}{{\ln 10}}\)

⇒ a ≥ 3 (vì a nguyên dương)

Ta có phương trình bậc hai đã cho có nghiệm ⇔ ∆ = b² – 20a ≥ 0 ⇔ b² ≥ 20a ≥ 60

⇒ b ≥ 8 (vì b nguyên dương)

⇒ S = 2a + 3b ≥ 30

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 3; b = 8

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.