Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình \(a{\ln ^2}x + b\ln x + 5 = 0\) có hai nghiệm phân

Câu hỏi số 196712:

Vận dụng

Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình \(a{\ln ^2}x + b\ln x + 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt\({x_1},{x_2}\)và phương trình\(5{\log ^2}x + b\log x + a = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_3},{x_4}\) thỏa mãn \({x_1}{x_2} > {x_3}{x_4}\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({S_{\min }}\) của \(S = 2a + 3b\).

A. \({S_{\min }} = 30\)

B. \({S_{\min }} = 25\)

C. \({S_{\min }} = 33\)

D. \({S_{\min }} = 17\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:196712

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Viét cho phương trình bậc hai để chuyển điều kiện của bài toán về điều kiện của a, b, từ đó tìm GTNN của a và b.

Giải chi tiết

Áp dụng định lý Viét cho các phương trình bậc hai đã cho (ẩn là lnx và logx), ta có

\(\ln \left( {{x_1}{x_2}} \right) = \ln {x_1} + \ln {x_2} = - \dfrac{b}{a}\)

\(\log \left( {{x_3}{x_4}} \right) = \log {x_3} + \log {x_4} = - \dfrac{b}{5}\)

Ta có

\({x_1}{x_2} > {x_3}{x_4} \Leftrightarrow \ln \left( {{x_1}{x_2}} \right) > \ln 10.\log \left( {{x_3}{x_4}} \right)\)\( \Leftrightarrow - \dfrac{b}{a} > \ln 10.\left( { - \dfrac{b}{5}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{b}{a} < \dfrac{{\ln 10.b}}{5} \Leftrightarrow a > \dfrac{5}{{\ln 10}}\)

⇒ a ≥ 3 (vì a nguyên dương)

Ta có phương trình bậc hai đã cho có nghiệm ⇔ ∆ = b² – 20a ≥ 0 ⇔ b² ≥ 20a ≥ 60

⇒ b ≥ 8 (vì b nguyên dương)

⇒ S = 2a + 3b ≥ 30

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 3; b = 8

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.