Giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{x}{2}+\frac{8}{x},\,\,x\ge 5\) là:

Câu hỏi số 213474:

Nhận biết

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(\frac{41}{10}\)

D. \(\frac{51}{10}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213474

Phương pháp giải

Phương pháp:

Phân tích đề:

- Nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si đơn thuần ta sẽ nhận được \(P\ge 4\) nhưng dấu “=” không xảy ra khi \(x\ge 5\).

- Áp dụng kĩ thuật chọn điểm rơi khi \(x=5\) thì \({{x}^{2}}=25\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{25/2}{x}=\frac{25}{2x}\) nên ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm \(\frac{x}{2},\,\frac{25}{2x}\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{x}{2},\,\frac{25}{2x}\) ta nhận được

\(\frac{x}{2}+\frac{25}{2x}\ge 2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{25}{2x}}=2\sqrt{\frac{25}{4}}=5\,\,\left( 1 \right).\)

Mặt khác ta lại có \(x\ge 5\Rightarrow \frac{1}{x}\le \frac{1}{5}\Rightarrow -\frac{9}{2x}\ge -\frac{9}{10}\,\left( 2 \right).\)

Cộng vế theo vế bất đẳng thức \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta nhận được \(P=\frac{x}{2}+\frac{8}{x}\ge \frac{41}{10}.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & \frac{x}{2}=\frac{25}{2x} \\ & x=5 \\ & x>0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=5.\)

Chọn đáp án C.

Chú ý khi giải

Nhận xét. Nhiều bạn có thể giải câu 3 như đã giải ở câu 2. Cụ thể là áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\frac{x}{2},\,\frac{8}{x}\) để suy ra \(P\ge 4\) rồi kết luận giá trị nhỏ nhất là \(4\) nhưng điều này không đúng. Đối với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất thì cần lưu ý điều kiện xảy ra dấu bằng. Ta chứng minh một biểu thức lớn hơn một số không có nghĩa là số đó chính là giá trị nhỏ nhất của biểu thức đó. Nó sẽ là giá trị nhỏ nhất khi đạt được dấu bằng.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link