Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 1, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 1, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SH\bot \left( SAB \right)\) với H là trung điểm của AB.
+) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+) Dựng đường thẳng d qua O và vuông góc với (ABC), khi đó d là trục của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
+) Dựng mặt phẳng trung trực của (SAB), khi đó mặt phẳng này cắt SH tại K.
+) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng định lý Pi-ta-go.
Gọi H là trung điểm của AB. Khi đó \(SH\bot \left( SAB \right).\)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với (ABC).
\(\Rightarrow d//SH.\)
Dựng đường trung trực của (SAB), cắt d tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
Gọi K là giao điểm của SH và mặt phẳng trung trực của (SAB).
\(\Rightarrow \) IKHO là hình chữ nhật, K là trọng tâm tam giác SAB
Khi đó: \(R=SI=IA=IB=IC\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC.
Tam giác ABC đều cạnh 1 nên \(CH=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow OC=\frac{2}{3}CH=\frac{\sqrt{3}}{3}.\)
Tam giác SAB đều cạnh 1 nên \(SH=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow HK=\frac{1}{3}SH=\frac{\sqrt{3}}{6}=IO\)
Xét tam giác IOC vuông tại O ta có: \(IC=\sqrt{O{{I}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\sqrt{\frac{3}{36}+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{5}{12}}=\frac{\sqrt{15}}{6}\)
\(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{\sqrt{15}}{5} \right)}^{3}}=\frac{5\pi \sqrt{15}}{54}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
