Cho phương trình: \({x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + 6m + 1 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm

Câu hỏi số 220031:

Thông hiểu

Cho phương trình: \({x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + 6m + 1 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} = 15\)

A. m = 1

B. m = - 2

C. \(m = \pm 2\)

D. \(\left[ \matrix{m = 1 \hfill \cr m = {{ - 1} \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:220031

Phương pháp giải

Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\). (\(\Delta > 0)).

- Ta biến đổi biểu thức \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} = 15\) về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của m.

- Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết

Xét phương trình:\({x^2} + 2\left( {m + 2} \right)x + 6m + 1 = 0\) có:

\(\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 3} \right) = {m^2} - 2m + 1 - 4m + 12 = {m^2} - 6m + 13 = {\left( {m - 3} \right)^2} + 4 > 0,\forall m\)

Để phương trình có hai nghiệm thì \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 2 \ge 0\) luôn đúng với \(\forall m\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 2} \right) \cr {x_1}{x_2} = 6m + 1\cr} \right.\) (1)

Ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2} = 15 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 15\) (2).

Từ (1) và (2) ta có:

\(\eqalign{ & 4{\left( {m + 2} \right)^2} - 3\left( {6m + 1} \right) = 15 \cr & \Leftrightarrow 4\left( {{m^2} + 4m + 4} \right) - 18m - 3 = 15 \cr & \Leftrightarrow 4{m^2} - 2m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{m = 1 \cr m = {{ - 1} \over 2} \cr} \right. \cr} \)

Vậy với m = 1 hoặc \(m = {{ - 1} \over 2}\) thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.