Cho phương trình: \({x^2} - mx + m - 1 = 0\). Tìm giá trị lớn nhất của: \(M = {{2{x_1}{x_2} + 3} \over

Câu hỏi số 220155:

Vận dụng cao

Cho phương trình: \({x^2} - mx + m - 1 = 0\). Tìm giá trị lớn nhất của: \(M = {{2{x_1}{x_2} + 3} \over {{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}}\) với \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của phương trình đã cho.

A. m = 1

B. m = - 1

C. m = 2

D. m = - 2

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220155

Phương pháp giải

Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) (\(\Delta \ge 0\)).

- Ta biến đổi biểu thức \(M = {{2{x_1}{x_2} + 3} \over {{x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}}\) về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được m để M đạt giá trị lớn nhất.

- Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết

Xét phương trình: \({x^2} - mx + m - 1 = 0\) có:

\(\Delta = {m^2} - 4\left( {m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2}\)

Để phương trình trên có hai nghiệm thì \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = m \cr {x_1}{x_2} = m - 1\cr} \right.\) (1)

Theo đề bài ta có: \(M = {{2{x_1}{x_2} + 3} \over {x_1^2 + x_1^2 + 2\left( {1 + {x_1}{x_2}} \right)}} = {{2{x_1}{x_2} + 3} \over {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} + 2}}.\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thế (1) vào (2) ta được:

\(\eqalign{& M = {{2\left( {m - 1} \right) + 3} \over {{m^2} + 2}} = {{2m + 1} \over {{m^2} + 2}} = {{{m^2} + 2 - {m^2} + 2m - 1} \over {{m^2} + 2}} = 1 - {{{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \over {{m^2} + 2}} \le 1 \cr & \Rightarrow Max\,\,M = 1. \cr} \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {{{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \over {{m^2} + 2}} = 0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1.\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link