Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3m + 3 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm

Câu hỏi số 220143:

Vận dụng cao

Cho phương trình: \({x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3m + 3 = 0\). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: \(\left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 1} \right| = 7.\)

A. m = 1

B. m = - 5

C. m = 9

D. m = 1 và m = - 5

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:220143

Phương pháp giải

Để trả lời yêu cầu bài toán, trước tiên ta tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) (\(\Delta \ge 0\)).

Ta biến đổi biểu thức \({{1 \over x}_1} + {{1 \over x}_2} = 3\) về biểu thức có chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) rồi từ đó ta tìm được giá trị của m.

- Đối chiếu với điều kiện xác định của m để tìm được giá trị thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Giải chi tiết

Xét phương trình: \({x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 3m + 3 = 0\) có:

\(\eqalign{& \Delta = {\left( {m + 4} \right)^2} - 4\left( {3m + 3} \right) = {m^2} + 8m + 16 - 12m - 12 \cr & \,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 4 = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\forall m. \cr} \)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\,\,\,\forall m\) . Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \matrix{{x_1} + {x_2} = m + 4 \cr {x_1}{x_2} = 3m + 3 \cr} \right.\) (1)

Có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\) (2)

Ta có:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,\,\left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 1} \right| = 7 \cr & \Leftrightarrow {\left( {\left| {{x_1} + 1} \right| + \left| {{x_2} + 1} \right|} \right)^2} = 49 \cr & \Leftrightarrow {x_1}^2 + 2{x_1} + 1 + 2\left| {\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right)} \right| + {x_2}^2 + 2{x_2} + 1 = 49 \cr & \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2\left| {{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1} \right| = 47 \cr & \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2\left| {{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1} \right| = 47\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,{\left( {m + 4} \right)^2} - 6\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 4} \right) + 2\left| {3m + 3 + m + 4 + 1} \right| = 47 \cr & \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 16 - 6m - 6 + 2m + 8 + 2\left| {4m + 8} \right| = 47 \cr & \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 29 + 8\left| {m + 2} \right| = 0\,\,\,\,\,(*) \cr} \)

+) Th1: Với \(m \ge - 2\) thì (*) trở thành:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,{m^2} + 4m + 8m + 16 = 29 \cr & \Leftrightarrow {m^2} + 12m - 13 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {m + 13} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{m - 1 = 0\cr m + 13 = 0 \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{m = 1\,\,\,(tm) \cr m = - 13\,\,\,\,(ktm) \cr} \right. \cr} \)

+) Th2: Với m < - 2 thì (*) trở thành:

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,{m^2} + 4m - 8m - 16 = 29 \cr & \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 45 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {m - 9} \right)\left( {m + 5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{m - 9 = 0 \cr m + 5 = 0 \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{m = 9\,\,\,(ktm) \cr m = - 5\,\,\,(tm) \cr} \right. \cr} \)

Vậy với m = 1 hoặc m = - 5 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

Chọn D.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.