Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R.\) Từ \(A\) và \(B\) kẻ hai tiếp tuyến

Câu hỏi số 220393:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn đường kính \(AB = 2R.\) Từ \(A\) và \(B\) kẻ hai tiếp tuyến \(Ax,\,By.\) Trên \(Ax\) lấy điểm \(M\) rồi kẻ tiếp tuyến \(MP\) cắt \(By\) tại \(N.\) Khi đó

A. \(\Delta MON \sim \Delta APB\)

B. \(\Delta MON = \Delta APB\)

C. \(A,B\) đều đúng

D. \(A,B\) đều sai

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:220393

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tia phân giác của hai góc kề bù để chứng minh \(\widehat {MON} = {90^0}\).

Dùng trường hợp đồng dạng góc – góc để chứng minh \(\Delta MON \sim \Delta APB\).

Giải chi tiết

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có

\(OM\) là tia phân giác của góc \(\widehat {AOP}\) và \(ON\) là tia phân giác của góc \(\widehat {BOP}.\) Do đó \(\widehat {MOA} = \widehat {MOP},\,\,\widehat {PON} = \widehat {BON}\,\,\left( 1 \right).\)

Ta lại có \(\widehat {AOP},\,\widehat {BOP}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {AOP} + \,\widehat {BOP} = {180^0}\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra

\(\begin{array}{l}\widehat {MON} = \widehat {MOP} + \widetilde {PON} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOM} + \widehat {MOP} + \widehat {PON} + \widehat {NOB}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOP} + \widehat {POB}} \right) = \frac{1}{2}{.180^0} = {90^0}\,\,\left( 3 \right).\end{array}\)

Ta lại có \(\widehat {APB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {APB} = {90^0}\,\,\left( 4 \right).\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến ta có

\(NB \bot ON \Rightarrow \widehat {OBN} = {90^0},\,\,NP \bot OP \Rightarrow \widehat {OPN} = {90^0} \Rightarrow \widehat {OBN} + \widehat {OPN} = {180^0}.\)

Do đó tứ giác \(OBNP\) là tứ giác nội tiếp. Từ đó \(\widehat {OBP} = \widehat {PNO}\,\,\left( 5 \right).\)

Từ \(\left( 3 \right),\,\,\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\) suy ra hai tam giác vuông \(APB\) và \(MON\) đồng dạng với nhau.

Chọn đáp án A.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.