Xem giả thiết ở câu 13. Giả sử thêm rằng \(DF//BC.\) Khi đó \(cos\,\widehat {ABC} = ?\)

Câu hỏi số 220410:

Vận dụng cao

A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:220410

Phương pháp giải

Gọi \(M,N\) là giao điểm của \(FD\) với \(AB,\left( O \right)\). Chứng minh \(MN = MD = DF = BH\).

Chứng minh \(\Delta NDA \sim \Delta CDF \Rightarrow DF.DN = DA.DC\) từ đó tính \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{BH}}{{AB}}\) .

Giải chi tiết

Giả sử rằng tia \(FD\) cắt \(AB\) tại \(M,\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(N.\) Theo giả thiết \(DF//BC,\) và \(AH\) là trục đối xứng của \(BC\) và của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(F,\,D\) theo thứ tự là điểm đối xứng với \(N,\,M\) qua \(AH.\)

Do đó \(FD = MN = MD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}ND = BH\,\,\left( 1 \right).\)

Xét \(\Delta NDA,\,\Delta CDF\) có \(\widehat {ADN} = \widehat {CDF}\)(hai góc đối đỉnh).

\(\widehat {ACF},\,\widehat {FNA}\) là hai góc nội tiếp chắn cung \(AF\) nên \(\widehat {DCF} = \widehat {DNA}\)

Do đó \(\Delta NDA \sim \Delta CDF\) \( \Rightarrow \frac{{DA}}{{DF}} = \frac{{ND}}{{CD}} \Rightarrow DF.DN = DA.DC\,\,\left( 4 \right).\)

Từ (1), (4) suy ra \(2B{H^2} = \frac{1}{4}A{C^2}\)

\( \Rightarrow BH = \frac{{\sqrt 2 }}{4}AC \Rightarrow \cos \,\widehat {ABC} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{BH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\)

Chọn đáp án A.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.