Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{\frac{1-x}{2y+1}}+\sqrt{\frac{2y+1}{1-x}}=2

Câu hỏi số 220920:

Thông hiểu

Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{\frac{1-x}{2y+1}}+\sqrt{\frac{2y+1}{1-x}}=2 \\ & x-y=1 \\\end{align} \right.\) là:

A. \(x=\frac{3}{4};\,y=\frac{-1}{3}\)

B. \(x=\frac{-4}{3};\,y=\frac{1}{3}\)

C. \(x=\frac{3}{4};\,y=\frac{1}{3}\)

D. Vô nghiệm

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:220920

Phương pháp giải

Phương pháp giải: :

+) Tìm điều kiện của x và y để biểu thức trong căn có nghĩa.

+) Biểu diễn x theo y và thay vào phương trình còn lại ta được một phương trình chứa căn thức với ẩn là y. Tiếp theo, ta đặt ẩn phụ để giải, thay ngược lại để tìm được giá trị của x và y.

+) Khi tìm được nghiệm x và y ta đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Giải chi tiết

Cách giải:

Đk:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - x}}{{2y + 1}} \ge 0\\\frac{{2y + 1}}{{1 - x}} \ge 0\\y \ne \frac{{ - 1}}{2}\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - x}}{{2y + 1}} > 0\\\frac{{2y + 1}}{{1 - x}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - x > 0\\2y + 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - x < 0\\2y + 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\y > \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\y < \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right..\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {\frac{{1 - x}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\frac{{2y + 1}}{{1 - x}}} = 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y = 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

từ \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(x=1+y\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta có:

\(pt \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{1 - 1 - y}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\frac{{2y + 1}}{{1 - 1 - y}}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {\frac{{ - y}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\frac{{2y + 1}}{{ - y}}} = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Đặt \(\frac{-y}{2y+1}=t\left( t\ge 0 \right)\Rightarrow \frac{2y+1}{-y}=\frac{1}{t}\) khi đó \(\left( 3 \right)\) có dạng:

\(\frac{{ - y}}{{2y + 1}} = 1 \Leftrightarrow 2y + 1 = - y \Leftrightarrow 3y = 1 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)

\(\sqrt t + \sqrt {\frac{1}{t}} = 2 \Leftrightarrow t + 2 + \frac{1}{t} = 4 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\left( {tm} \right)\)

Suy ra: \(\frac{-y}{2y+1}=1\Leftrightarrow 2y+1=-y\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}\,\,\,\left( tm \right)\Rightarrow x=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\,\,\,\left( ktm \right)\)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.