Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử \(\frac{7}{a}+\frac{9}{b}+\frac{4}{c}\ge A\left(

Câu hỏi số 221105:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c>0.\) Giả sử \(\frac{7}{a}+\frac{9}{b}+\frac{4}{c}\ge A\left( \frac{6}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right).\) Khi đó giá trị lớn nhất có thể có của \(A\) là:

A. \(5\)

B. \(6\)

C. \(3\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:221105

Phương pháp giải

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}\) với \(x=a,y=b\) ta nhận được

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\Leftrightarrow \frac{6}{a}+\frac{6}{b}\ge \frac{24}{a+b}\,\,\left( 1 \right).\)

Tương tự ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge \frac{4}{a+c}=\frac{4}{c+a}\,\,\left( 2 \right),\) \(\frac{3}{b}+\frac{3}{c}\ge \frac{12}{b+c}\,\,\left( 3 \right).\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta nhận được \(\frac{7}{a}+\frac{9}{b}+\frac{4}{c}\ge 4\left( \frac{6}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right).\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\) Khi đó \(\frac{7}{a}+\frac{9}{b}+\frac{4}{c}=\frac{20}{a},\frac{6}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{10}{2a}=\frac{5}{a}.\)

Do đó \(\frac{7}{a}+\frac{9}{b}+\frac{4}{c}\ge A\left( \frac{6}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right).\) kéo theo \(\frac{20}{a}\ge \frac{5A}{a}\Leftrightarrow 4\ge A.\)

Kết hợp các điều trên với nhau ta nhận được giá trị lớn nhất của \(A\) là \(4.\)

Chọn đáp án D.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.