Cho \(x,y\ge 0\) thỏa mãn \(x+y=4.\) Khi đó giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức \(S=\left(

Câu hỏi số 221111:

Vận dụng

Cho \(x,y\ge 0\) thỏa mãn \(x+y=4.\) Khi đó giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

\(S=\left( {{x}^{3}}-1 \right)\left( {{y}^{3}}-1 \right)\) tương ứng là:

A. \(-63;49\)

B. \(49;-63\)

C. \(-49;63\)

D. \(63;-49\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221111

Phương pháp giải

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết. Ta viết lại \(S\) dưới dạng

\(\begin{array}{l}S = \left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{y^3} - 1} \right) = {x^3}{y^3} - \left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 1\\\,\,\,\, = {\left( {xy} \right)^3} - \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) + 1\\\,\,\,\, = {\left( {xy} \right)^3} - 4\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - 3xy} \right) + 1\\\,\,\,\, = \,{\left( {xy} \right)^3} - 4{\left( {x + y} \right)^2} + 12xy + 1\\\,\,\,\, = {\left( {xy} \right)^3} - {4.4^2} + 12xy + 1 = {\left( {xy} \right)^3} + 12xy - 63.\end{array}\)

Đặt \(t=xy.\) Ta có \(S={{t}^{3}}+12t-63.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x;y\) ta có \(4=x+y\ge 2\sqrt{xy}.\)

Do đó \(0\le xy\le 4.\) Vì vậy \(0\le t\le 4.\)

Do \(t\ge 0\) nên \({{t}^{3}}\ge 0,12t\ge 0\) và do đó\(S={{t}^{3}}+12t-63\ge 0+0-63=-63.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(t=0\Leftrightarrow xy=0.\)

Khi đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Mặt khác ta có \(t\le 4\) nên \({{t}^{3}}\le {{4}^{3}}=64,\,\,12t\le 12.4=48.\) Từ đó \(S={{t}^{3}}+12t-63\le 64+48-63=49.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}t = 4\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 4\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S\) là \(-63\) đạt được tại \(\left( x;y \right)=\left( 0;4 \right)\) hoặc \(\left( x;y \right)=\left( 4;0 \right).\)

Giá trị lớn nhất của \(S\) là \(49\) đạt được tại \(\left( x;y \right)=\left( 2;2 \right).\)

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link