Cho $x,y\ge 0$ thỏa mãn $x+y=4.$ Khi đó giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức \(S=\left(

Câu hỏi số 221111:

Vận dụng

Cho $x,y\ge 0$ thỏa mãn $x+y=4.$ Khi đó giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

$S=\left( {{x}^{3}}-1 \right)\left( {{y}^{3}}-1 \right)$ tương ứng là:

A. $-63;49$

B. $49;-63$

C. $-49;63$

D. $63;-49$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221111

Phương pháp giải

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết. Ta viết lại $S$ dưới dạng

$\begin{array}{l}S = \left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{y^3} - 1} \right) = {x^3}{y^3} - \left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 1\\\,\,\,\, = {\left( {xy} \right)^3} - \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) + 1\\\,\,\,\, = {\left( {xy} \right)^3} - 4\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - 3xy} \right) + 1\\\,\,\,\, = \,{\left( {xy} \right)^3} - 4{\left( {x + y} \right)^2} + 12xy + 1\\\,\,\,\, = {\left( {xy} \right)^3} - {4.4^2} + 12xy + 1 = {\left( {xy} \right)^3} + 12xy - 63.\end{array}$

Đặt $t=xy.$ Ta có $S={{t}^{3}}+12t-63.$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $x;y$ ta có $4=x+y\ge 2\sqrt{xy}.$

Do đó $0\le xy\le 4.$ Vì vậy $0\le t\le 4.$

Do $t\ge 0$ nên ${{t}^{3}}\ge 0,12t\ge 0$ và do đó $S={{t}^{3}}+12t-63\ge 0+0-63=-63.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $t=0\Leftrightarrow xy=0.$

Khi đó ta có

$\left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right..$

Mặt khác ta có $t\le 4$ nên ${{t}^{3}}\le {{4}^{3}}=64,\,\,12t\le 12.4=48.$ Từ đó $S={{t}^{3}}+12t-63\le 64+48-63=49.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}t = 4\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 4\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ là $-63$ đạt được tại $\left( x;y \right)=\left( 0;4 \right)$ hoặc $\left( x;y \right)=\left( 4;0 \right).$

Giá trị lớn nhất của $S$ là $49$ đạt được tại $\left( x;y \right)=\left( 2;2 \right).$

Chọn đáp án A.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Tel:
024.7300.7989
Hotline:
1800.6947

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5 - 2K14

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho $x,y\ge 0$ thỏa mãn $x+y=4.$ Khi đó giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức \(S=\left(

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K8

VIDEO - Lộ trình SUN - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LIVE - Ôn luyện ĐGNL, ĐGTD - 2K7

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5 - 2K14

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho x,y≥0x,y\ge 0 thỏa mãn x+y=4.x+y=4. Khi đó giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức \(S=\left(

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn

Cho $x,y\ge 0$ thỏa mãn $x+y=4.$ Khi đó giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức \(S=\left(