Cho \(x,y\ge 0\) thỏa mãn \(x+y=4.\) Khi đó giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức \(S=\left(

Câu hỏi số 221111:

Vận dụng

Cho \(x,y\ge 0\) thỏa mãn \(x+y=4.\) Khi đó giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức

\(S=\left( {{x}^{3}}-1 \right)\left( {{y}^{3}}-1 \right)\) tương ứng là:

A. \(-63;49\)

B. \(49;-63\)

C. \(-49;63\)

D. \(63;-49\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221111

Phương pháp giải

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết. Ta viết lại \(S\) dưới dạng

\(\begin{array}{l}S = \left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{y^3} - 1} \right) = {x^3}{y^3} - \left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 1\\\,\,\,\, = {\left( {xy} \right)^3} - \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) + 1\\\,\,\,\, = {\left( {xy} \right)^3} - 4\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} - 3xy} \right) + 1\\\,\,\,\, = \,{\left( {xy} \right)^3} - 4{\left( {x + y} \right)^2} + 12xy + 1\\\,\,\,\, = {\left( {xy} \right)^3} - {4.4^2} + 12xy + 1 = {\left( {xy} \right)^3} + 12xy - 63.\end{array}\)

Đặt \(t=xy.\) Ta có \(S={{t}^{3}}+12t-63.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x;y\) ta có \(4=x+y\ge 2\sqrt{xy}.\)

Do đó \(0\le xy\le 4.\) Vì vậy \(0\le t\le 4.\)

Do \(t\ge 0\) nên \({{t}^{3}}\ge 0,12t\ge 0\) và do đó\(S={{t}^{3}}+12t-63\ge 0+0-63=-63.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(t=0\Leftrightarrow xy=0.\)

Khi đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}xy = 0\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 4\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Mặt khác ta có \(t\le 4\) nên \({{t}^{3}}\le {{4}^{3}}=64,\,\,12t\le 12.4=48.\) Từ đó \(S={{t}^{3}}+12t-63\le 64+48-63=49.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}t = 4\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 4\\x + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(S\) là \(-63\) đạt được tại \(\left( x;y \right)=\left( 0;4 \right)\) hoặc \(\left( x;y \right)=\left( 4;0 \right).\)

Giá trị lớn nhất của \(S\) là \(49\) đạt được tại \(\left( x;y \right)=\left( 2;2 \right).\)

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link