Cho biết \(a,b>0\) thỏa mãn \(11x+10y=2017.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu hỏi số 221112:

Vận dụng

Cho biết \(a,b>0\) thỏa mãn \(11x+10y=2017.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\frac{10}{x}+\frac{11}{y}\) là:

A. \(\frac{110}{2017}\)

B. \(\frac{220}{2017}\)

C. \(\frac{880}{2017}\)

D. \(\frac{440}{2017}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:221112

Phương pháp giải

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Ta viết lại \(M=\frac{1}{\frac{x}{10}}+\frac{1}{\frac{y}{11}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) với \(a=\frac{x}{10};b=\frac{y}{11}\) ta nhận được

\(M = \frac{1}{{\frac{x}{{10}}}} + \frac{1}{{\frac{y}{{11}}}} \ge \frac{4}{{\frac{x}{{10}} + \frac{y}{{11}}}} = \frac{4}{{\frac{{11x + 10y}}{{10.11}}}} = \frac{{440}}{{11x + 10y}} = \frac{{440}}{{2017}}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{10}} = \frac{y}{{11}}\\11x + 10y = 2017\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 10y\\11x + 10y = 2017\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 10y\\20y = 2017\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2017}}{{22}}\\y = \frac{{2017}}{{20}}\end{array} \right..\)

Giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(\frac{440}{2017}\) đạt được tại \(\left( x;y \right)=\left( \frac{2017}{20};\frac{2017}{22} \right).\)

Chọn đáp án D.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.