Cho biết \(a,b>0\) thỏa mãn \(11x+10y=2017.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu hỏi số 221112:

Vận dụng

Cho biết \(a,b>0\) thỏa mãn \(11x+10y=2017.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=\frac{10}{x}+\frac{11}{y}\) là:

A. \(\frac{110}{2017}\)

B. \(\frac{220}{2017}\)

C. \(\frac{880}{2017}\)

D. \(\frac{440}{2017}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221112

Phương pháp giải

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\).

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Ta viết lại \(M=\frac{1}{\frac{x}{10}}+\frac{1}{\frac{y}{11}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) với \(a=\frac{x}{10};b=\frac{y}{11}\) ta nhận được

\(M = \frac{1}{{\frac{x}{{10}}}} + \frac{1}{{\frac{y}{{11}}}} \ge \frac{4}{{\frac{x}{{10}} + \frac{y}{{11}}}} = \frac{4}{{\frac{{11x + 10y}}{{10.11}}}} = \frac{{440}}{{11x + 10y}} = \frac{{440}}{{2017}}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{{10}} = \frac{y}{{11}}\\11x + 10y = 2017\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 10y\\11x + 10y = 2017\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11x = 10y\\20y = 2017\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2017}}{{22}}\\y = \frac{{2017}}{{20}}\end{array} \right..\)

Giá trị nhỏ nhất của \(M\) là \(\frac{440}{2017}\) đạt được tại \(\left( x;y \right)=\left( \frac{2017}{20};\frac{2017}{22} \right).\)

Chọn đáp án D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link