Tính thể tích V của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh
Tính thể tích V của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh bằng 1.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Phương pháp:
Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác đều.
B1: Xác định hai trục của hai mặt phẳng bất kì (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).
B2: Xác định giao điểm I của hai trục đó. Khi đó I là tâm mặt cầu cần tìm.
Gọi O và O’ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và ACD thì \(DO\bot \left( ABC \right);BO'\bot \left( ACD \right)\)
Gọi \(I=DO\cap BO'\) , ta dễ dạng chứng minh được I là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều.
Và R = IF là bán kính mặt cầu đó.
Kẻ BB’ qua I và song song với BD.
Ta có: OO’ // BD nên
\(\frac{OO'}{BD}=\frac{FO}{FD}=\frac{1}{3}=\frac{O'I}{IB}\Rightarrow \frac{O'I}{O'B}=\frac{1}{4}=\frac{ID'}{BD}\Rightarrow ID'=\frac{1}{4}BD=\frac{a}{4}\)
\(\begin{align} & \frac{O'D'}{O'D}=\frac{1}{4}\Rightarrow O'D'=\frac{1}{4}O'D \\ & \frac{FO'}{FD}=\frac{OO'}{BD}=\frac{1}{3}\Rightarrow FO'=\frac{1}{3}FD \\ \end{align}\)
Ta có : \(\frac{O'D'}{FD}=\frac{O'D'}{\frac{3}{2}O'D}=\frac{\frac{1}{4}O'D}{\frac{3}{2}O'D}=\frac{1}{6}\Rightarrow O'D'=\frac{1}{6}FD\)
\(\Rightarrow FD'=FO'+O'D'=\frac{1}{3}FD+\frac{1}{6}FD=\frac{1}{2}FD=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Xét tam giác vuông EID’ có \(FI=\sqrt{FD{{'}^{2}}-ID{{'}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{4}=R\)
Vậy \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi \frac{\sqrt{2}}{32}=\frac{\sqrt{2}\pi }{24}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
