Tính thể tích V của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh

Câu hỏi số 221862:

Vận dụng

Tính thể tích V của khối cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ diện đều ABCD cạnh bằng 1.

A. \(V=\frac{\sqrt{2}\pi }{24}\)

B. \(V=\frac{\sqrt{2}\pi }{12}\)

C. \(V=\frac{\sqrt{2}\pi }{8}\)

D. \(V=\frac{\sqrt{2}\pi }{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221862

Phương pháp giải

Phương pháp:

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác đều.

B1: Xác định hai trục của hai mặt phẳng bất kì (đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với đáy).

B2: Xác định giao điểm I của hai trục đó. Khi đó I là tâm mặt cầu cần tìm.

Giải chi tiết

Gọi O và O’ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và ACD thì \(DO\bot \left( ABC \right);BO'\bot \left( ACD \right)\)

Gọi \(I=DO\cap BO'\) , ta dễ dạng chứng minh được I là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều.

Và R = IF là bán kính mặt cầu đó.

Kẻ BB’ qua I và song song với BD.

Ta có: OO’ // BD nên

\(\frac{OO'}{BD}=\frac{FO}{FD}=\frac{1}{3}=\frac{O'I}{IB}\Rightarrow \frac{O'I}{O'B}=\frac{1}{4}=\frac{ID'}{BD}\Rightarrow ID'=\frac{1}{4}BD=\frac{a}{4}\)

\(\begin{align} & \frac{O'D'}{O'D}=\frac{1}{4}\Rightarrow O'D'=\frac{1}{4}O'D \\ & \frac{FO'}{FD}=\frac{OO'}{BD}=\frac{1}{3}\Rightarrow FO'=\frac{1}{3}FD \\ \end{align}\)

Ta có : \(\frac{O'D'}{FD}=\frac{O'D'}{\frac{3}{2}O'D}=\frac{\frac{1}{4}O'D}{\frac{3}{2}O'D}=\frac{1}{6}\Rightarrow O'D'=\frac{1}{6}FD\)

\(\Rightarrow FD'=FO'+O'D'=\frac{1}{3}FD+\frac{1}{6}FD=\frac{1}{2}FD=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}\)

Xét tam giác vuông EID’ có \(FI=\sqrt{FD{{'}^{2}}-ID{{'}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{4}=R\)

Vậy \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi \frac{\sqrt{2}}{32}=\frac{\sqrt{2}\pi }{24}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.