Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt đáy ABC là tam giác đều, độ dài cạnh AB = 2a. Hình

Câu hỏi số 221960:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt đáy ABC là tam giác đều, độ dài cạnh AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60⁰, tính theo a khoảng cách h từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).

A. \(h=\frac{\sqrt{39}a}{13}\)

B. \(h=\frac{2\sqrt{15}a}{5}\)

C. \(h=\frac{2\sqrt{21}a}{7}\)

D. \(h=\frac{\sqrt{15}a}{5}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221960

Phương pháp giải

Phương pháp :

Nhận xét \(\frac{d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)}{d\left( H;\left( ACC'A' \right) \right)}=\frac{BA}{BH}=2\Rightarrow d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)=2d\left( H;\left( ACC'A' \right) \right)\)

Xác định khoảng cách từ H đến (ACC’A’).

Giải chi tiết

Cách giải :

Ta có \(A'H\bot \left( ABC \right)\) nên \(\left( A'A;\left( ABC \right) \right)=\left( A'A;HA \right)=\widehat{A'AH}={{60}^{0}}\)

Gọi D là trung điểm của AC thì \(BD\bot AC\), kẻ HE // AC suy ra \(HE\bot AC\)

Ta có \(\left\{ \begin{align} & AH\bot AC \\ & HE\bot AC \\ \end{align} \right.\Rightarrow AC\bot \left( AHE \right)\)

Trong (AHE) kẻ \(HK\bot AE\Rightarrow HK\bot AC\Rightarrow HK\bot \left( ACC'A' \right)\Rightarrow d\left( H;\left( ACC'A' \right) \right)=HK\)

Mà \(\frac{d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)}{d\left( H;\left( ACC'A' \right) \right)}=\frac{BA}{BH}=2\Rightarrow d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)=2d\left( H;\left( ACC'A' \right) \right)=2HK\)

Ta có \(BD=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow HE=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét tam giác vuông A’AH có \(A'H=AH.\tan 60=a\sqrt{3}\)

Xét tam giác vuông A’HE có

\(\begin{align} & H{{K}^{2}}=\frac{A'{{H}^{2}}.H{{E}^{2}}}{A'{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}}=\frac{3{{a}^{2}}.\frac{3{{a}^{2}}}{4}}{3{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}}=\frac{3{{a}^{2}}}{5}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{15}}{5} \\ & \Rightarrow d\left( B;\left( ACC'A' \right) \right)=\frac{2a\sqrt{15}}{5} \\ \end{align}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.