Có 4 viên bi hình cầu bán kính bằng 1cm. Người ta đặt 3 viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc

Câu hỏi số 227120:

Vận dụng cao

Có 4 viên bi hình cầu bán kính bằng 1cm. Người ta đặt 3 viên bi tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt bàn. Sau đó đai 3 viên bi đó lại và đặt 1 viên bi thứ 4 tiếp xúc vởi cả 3 viên bi trên như hình vẽ bên dưới. Gọi O là điểm thuộc bề mặt của viên bi thứ 4 có khoảng cách đến mặt bàn là lớn nhất. Khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng

A. \(\dfrac{7}{2}.\)

B. \(\dfrac{{6 + 2\sqrt 6 }}{3}.\)

C. \(\dfrac{{3 + 2\sqrt 6 }}{3}.\)

D. \(\dfrac{{4\sqrt 6 }}{3}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:227120

Phương pháp giải

Ta đánh số các viên bi như hình vẽ.

Gọi tâm của các viên bi 1, 2, 3,4 lần lượt là A, B, C, D.

Vì 4 viên bi tiếp xúc nhau, nên các điểm tiếp xúc của đôi một 4 viên bi này là trung điểm của các cạnh của tứ diện đều ABCD.

Khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng OJ = OA + AI + IJ

(I là tâm của tam giác BCD)

OA = IJ =1.

Tính AI !

Giải chi tiết

Tứ diện đều ABCD có cạnh đều bằng 2

( do BC = BM + MC = 1 + 1 = 2).

Tam giác ACD đều, cạnh bằng 2 => Chiều cao \(AN = 2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)

Tam giác BCD đều, cạnh bằng 2, I là trọng tâm

=> \(IN = \dfrac{1}{3}BN = \dfrac{1}{3}.\sqrt 3 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Tam giác AIN vuông tại I, theo Pytago ta có: \(AI = \sqrt {A{N^2} - I{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \sqrt {\dfrac{8}{3}} = \dfrac{{\sqrt {24} }}{3} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\)

Vậy, khoảng cách từ O đến mặt bàn bằng OJ = OA + AI + IJ = 1 + \(\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\)+ 1 = \(\dfrac{{6 + 2\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.