Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\) \(SA=a\) và vuông góc với đáy.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\) \(SA=a\) và vuông góc với đáy. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(A\) và vuông góc với trung tuyến \(SI\) của tam giác \(SBC\). Tính diện tích \(S\) của thiết diện tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp đã cho.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác
Gọi I là trung điểm \(BC\Rightarrow AI\bot BC.\) Kẻ \(AK\bot SI\) \(\left( K\in SI \right)\).
\(\Delta SAB=\Delta SAC\left( c.g.c \right)\Rightarrow SB=SC\Rightarrow \Delta SBC\) cân tại S \(\Rightarrow SI\bot BC\)
Từ \(K\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(SB,\text{ }SC\) lần lượt tạị \(M,\text{ }N\).
\(\Rightarrow MN\bot SI\). Khi đó thiết diện là tam giác \(AMN.\)
Ta có \(\left\{ \begin{align} & BC\bot AI \\ & BC\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow BC\bot AK\Rightarrow MN\bot AK.\)
Tam giác vuông \(SAI\), có \(AK=\frac{SA.AI}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}\).
Tam giác \(SBC\), có
\(\frac{MN}{BC}=\frac{SK}{SI}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{I}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{4}{7}\Rightarrow MN=\frac{4a}{7}.\)
Vậy \({{S}_{\Delta AMN}}=\frac{1}{2}AK.MN=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{21}}{7}.\frac{4a}{7}=\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{21}}{49}.\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
