Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\) \(SA=a\) và vuông góc với đáy.

Câu hỏi số 228661:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\) \(SA=a\) và vuông góc với đáy. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(A\) và vuông góc với trung tuyến \(SI\) của tam giác \(SBC\). Tính diện tích \(S\) của thiết diện tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp đã cho.

A. \({{S}_{\Delta AMN}}=\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{21}}{49}.\)

B. \({{S}_{\Delta AMN}}=\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{21}}{49}.\)

C. \({{S}_{\Delta AMN}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{21}}{7}.\)

D. \({{S}_{\Delta AMN}}=\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{21}}{7}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:228661

Phương pháp giải

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm \(BC\Rightarrow AI\bot BC.\) Kẻ \(AK\bot SI\) \(\left( K\in SI \right)\).

\(\Delta SAB=\Delta SAC\left( c.g.c \right)\Rightarrow SB=SC\Rightarrow \Delta SBC\) cân tại S \(\Rightarrow SI\bot BC\)

Từ \(K\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(SB,\text{ }SC\) lần lượt tạị \(M,\text{ }N\).

\(\Rightarrow MN\bot SI\). Khi đó thiết diện là tam giác \(AMN.\)

Ta có \(\left\{ \begin{align} & BC\bot AI \\ & BC\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow BC\bot AK\Rightarrow MN\bot AK.\)

Tam giác vuông \(SAI\), có \(AK=\frac{SA.AI}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}\).

Tam giác \(SBC\), có

\(\frac{MN}{BC}=\frac{SK}{SI}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{I}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{4}{7}\Rightarrow MN=\frac{4a}{7}.\)

Vậy \({{S}_{\Delta AMN}}=\frac{1}{2}AK.MN=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{21}}{7}.\frac{4a}{7}=\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{21}}{49}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.