Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-{{m}^{3}}+1\) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}}

Câu hỏi số 228940:

Vận dụng

Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-{{m}^{3}}+1\) có đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\)và điểm \(M\left( -2;2 \right)\). Biết đồ thị \(\left( {{C}_{m}} \right)\)có hai điểm cực trị A, B và tam giác ABM vuông tại M. Hỏi có bao nhiêu giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán?

A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:228940

Phương pháp giải

+) Giải phương trình \(y'=0\)tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

+) \(\Delta ABM\)vuông tại M\(\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\)

Giải chi tiết

\(y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow \Delta '={{\left( 3m \right)}^{2}}-9\left( {{m}^{2}}-1 \right)=9{{m}^{2}}-9{{m}^{2}}+9=9>0\,\,\forall m\in R\Rightarrow \)Đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị.

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = \frac{{3m + 3}}{3} = m + 1\\{x_B} = \frac{{3m - 3}}{3} = m - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {m + 1; - 3m - 2} \right)\\B\left( {m - 1; - 3m + 4} \right)\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\left( m+3;-3m-4 \right),\overrightarrow{MB}=\left( m+1;-3m+2 \right)\)

Để tam giác ABM vuông tại M thì

\(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}+4m+3+9{{m}^{2}}+6m-8=0\Leftrightarrow 10{{m}^{2}}+10m-5=0\Leftrightarrow \)Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.