Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a\sqrt{3}\), BD = 3a. Hình chiếu

Câu hỏi số 228946:

Vận dụng

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a\sqrt{3}\), BD = 3a. Hình chiếu của B trên mặt phẳng (A’B’C’D’) trùng với trung điểm của A’C’. Biết cosin của góc tạo bởi (ABCD) và (CDD’C’) bằng \(\frac{\sqrt{21}}{7}\). Tính thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

A. \(\frac{3\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}\)

B. \(\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}\)

C. \(\frac{9{{a}^{3}}}{4}\)

D. \(\frac{3{{a}^{3}}}{4}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:228946

Phương pháp giải

\({{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=BO.{{S}_{A'B'C'D'}}\)

Giải chi tiết

Xét tam giác ABD có

\(\cos \widehat{BAD}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}-B{{D}^{2}}}{2AB.AD}=\frac{3{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}-9{{a}^{2}}}{2.3{{a}^{2}}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{BAD}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{A'B'C'}={{60}^{0}}\)

\(\Rightarrow \Delta A'B'C'\) đều cạnh \(a\sqrt{3}\)

Gọi E là trung điểm của A’B’ \(\Rightarrow C'E\bot A'B'\) và \(C'E=\frac{a\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}\), gọi F là trung điểm của A’E, O là tâm hình thoi A’B’C’D’.

OF là đường trung bình của tam giác A’C’E ta có OF // C’E và \(OF=\frac{1}{2}C'E=\frac{3a}{4}\Rightarrow OF\bot A'B'\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A'B' \bot OF\\A'B' \bot BO\end{array} \right. \Rightarrow A'B' \bot \left( {BOF} \right) \Rightarrow A'B' \bot BF\)

\(\begin{array}{l}\widehat {\left( {\left( {ABCD} \right);\left( {C{\rm{DD}}'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {\left( {A'B'C'D'} \right);\left( {ABB'A'} \right)} \right)}\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'B'C'D'} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = A'B'\\\left( {A'B'C'D'} \right) \supset OF \bot A'B'\\\left( {ABB'A'} \right) \supset BF \bot A'B'\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {A'B'C'D'} \right);\left( {ABB'A'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {OF;BF} \right)} = \widehat {BFO}\\\cos \widehat {BFO} = \frac{{OF}}{{BF}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7} \Rightarrow BF = \frac{7}{{\sqrt {21} }}OF = \frac{7}{{\sqrt {21} }}.\frac{{3a}}{4} = \frac{{\sqrt {21} a}}{4}\\ \Rightarrow BO = \sqrt {B{F^2} - O{F^2}} = \sqrt {\frac{{21{a^2}}}{{16}} - \frac{{9{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{S_{A'B'C'}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{A'B'C'D'}} = 2{S_{A'B'C'}} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = BO.{S_{A'B'C'D'}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{9{a^3}}}{4}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.