Cho \(\int\limits_{0}^{3}{\frac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx}=\frac{a}{3}+b\ln 2+c\ln 3\), với a, b, c là các số nguyên.

Câu hỏi số 233081:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_{0}^{3}{\frac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx}=\frac{a}{3}+b\ln 2+c\ln 3\), với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng :

A. 1

B. 2

C. 7

D. 9

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233081

Phương pháp giải

+) Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{3}{\frac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx}\), đưa kết quả về dạng \(\frac{a}{3}+b\ln 2+c\ln 3\).

+) Đồng nhất hệ số, tìm giá trị của a, b, c và tính tổng a + b + c.

Giải chi tiết

Đặt \(t=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=x+1\Leftrightarrow 2tdt=dx\) và \(x={{t}^{2}}-1\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=1 \\ & x=3\Rightarrow t=2 \\ \end{align} \right.\),

khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}
I = \int\limits_1^3 {\frac{x}{{4 + 2\sqrt {x + 1} }}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{4 + 2t}}.2tdt} = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^3} - t}}{{t + 2}}dt} \\
= \int\limits_1^2 {\left( {{t^2} - 2t + 3 - \frac{6}{{t + 2}}} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - {t^2} + 3t - 6\ln \left| {t + 2} \right|} \right)} \right|_{\;1}^2\\
= \frac{{14}}{3} - 6\ln 4 - \left( {\frac{7}{3} - 6\ln 3} \right)\\
= \frac{7}{3} - 12\ln 2 + 6\ln 3\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 7\\
b = - 12\\
c = 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow a + b + c = 1
\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.