Phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với

Câu hỏi số 235110:

Vận dụng

Phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với trục Ox là:

A. \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4}\)

B. \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{2} \right)}^{2}}=25\)

C. \({{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=25\)

D. \({{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=\frac{25}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:235110

Phương pháp giải

Đường tròn qua hai điểm A, B nên ta có \(R=IA=IB\)

Đường tròn tiếp xúc với Ox nên ta cũng có \(R=d(I;\text{Ox})\)

Giải chi tiết

Giả sử đường tròn có tâm \(I(a;b)\) và bán kính \(R\).

Vì đường tròn qua hai điểm A, B nên ta có \(R=IA=IB\)

\(\begin{array}{l}R = \sqrt {{{(2 - a)}^2} + {{(5 - b)}^2}} = \sqrt {{{(4 - a)}^2} + {{(1 - b)}^2}} \\ \Leftrightarrow {(2 - a)^2} + {(5 - b)^2} = {(4 - a)^2} + {(1 - b)^2}\\ \Leftrightarrow 4a - 8b + 12 = 0\\ \Leftrightarrow a - 2b + 3 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì đường tròn tiếp xúc với Ox nên ta cũng có \(R=d\left( I;\text{Ox} \right)=\left| b \right|\) hay ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {2 - a} \right)}^2} + {{\left( {5 - b} \right)}^2}} = \left| b \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {5 - b} \right)^2} = {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 4a - 10b + 29 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) có \(b=\frac{a+3}{2}\). Thay vào (2) ta được:

\({a^2} - 4a - 5\left( {a + 3} \right) + 29 = 0 \Leftrightarrow {a^2} - 9a + 14 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = 7\end{array} \right.\)

Với \(a=2\) suy ra \(b=\frac{5}{2}\) , ta có: \(I\left( 2;\frac{5}{2} \right)\) và \(R=\frac{5}{2}\), ta có đường tròn \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4}\)

Với \(a=7\) suy ra \(b=5\) , ta có: \(I\left( 7;5 \right)\) và \(R=5\), ta có đường tròn \({{\left( x-7 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}=25\)

Bài toán yêu cầu đường tròn có bán kính nhỏ nhất nên chọn \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{5}{2} \right)}^{2}}=\frac{25}{4}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.