Xét các số phức \(z=a+bi\,\,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z-4-3i

Câu hỏi số 235696:

Vận dụng

Xét các số phức \(z=a+bi\,\,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn điều kiện \(\left| z-4-3i \right|=\sqrt{5}.\) Tính \(P=a+b\) khi giá trị biểu thức \(\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(P=10.\)

B. \(P=4.\)

C. \(P=6.\)

D. \(P=8.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:235696

Phương pháp giải

+) Từ giả thiết \(\left| z-4-3i \right|=\sqrt{5}\) tìm quỹ tích điểm M.

+) Với \(A\left( -\,1;3 \right),\,\,B\left( 1;-\,1 \right).\) ta có \(\left| z+1-3i \right|+\left| z-1+i \right|=MA+MB\), tìm GTLN của MA + MB, sử dunggj BĐT \({{Q}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+2MA.MB\le 2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)\)

+) Gọi E là trung điểm của \(AB\)\(\Rightarrow \,\,M{{E}^{2}}=\frac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}.\Rightarrow {{P}^{2}}\le 4.M{{I}^{2}}+A{{B}^{2}}\)

+) Tìm điều kiện để dấu “=” xảy ra và suy ra a, b.

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( x;y \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z\)

Từ giả thiết, ta có \(\left| z-4-3i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow {{\left( x-4 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5\) suy ra \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( 4;3 \right),\) bán kính \(R=\sqrt{5}.\) Khi đó \(P=MA+MB,\) với \(A\left( -\,1;3 \right),\,\,B\left( 1;-\,1 \right).\)

Ta có \({{P}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+2MA.MB\le 2\left( M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}} \right)\)

Gọi \(E\left( 0;1 \right)\) là trung điểm của \(AB\)\(\Rightarrow \,\,M{{E}^{2}}=\frac{M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}}{2}-\frac{A{{B}^{2}}}{4}.\)

Do đó \({{P}^{2}}\le 4.M{{E}^{2}}+A{{B}^{2}}\) mà \(ME\le CE=3\sqrt{5}\) suy ra \({{P}^{2}}\le 4.{{\left( 3\sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}=200.\)

Với \(C\) là giao điểm của đường thẳng \(EI\) với đường tròn \(\left( C \right).\)

Vậy \(P\le 10\sqrt{2}.\) Dấu \(''\,\,=\,\,''\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{align} & MA=MB \\& M\,\,\equiv \,\,C \\\end{align} \right.\Rightarrow M\left( 6;4 \right)\Rightarrow \,\,a+b=10.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.