Cho hình vuông C1 có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng

Câu hỏi số 237003:

Vận dụng cao

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông C₂ (Hình vẽ). Từ hình vuông C₂ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông C₁, C₂, C₃, …, C_n;… Gọi S_i là diện tích của hình vuông \({{C}_{i}}\,\,\left( i\in \left\{ 1;2;3;... \right\} \right)\). Đặt \(T={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+...+{{S}_{n}}+...\)

Biết \(T=\frac{50}{3},\) tính a?

A. \(\sqrt{2}\)

B. \(\frac{5}{2}\)

C. 2

D. \(2\sqrt{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237003

Phương pháp giải

+) Tính S₁, S₂, S₃ và rút ra quy luật tính S_n.

+) Áp dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \({{S}_{n}}=\frac{{{u}_{1}}}{1-q}\) với u₁ và q là số hạng đầu tiên và công bội của CSN đó.

Giải chi tiết

\({{S}_{1}}={{a}^{2}}\)

Hình vuông C₂ có cạnh bằng \(\sqrt{{{\left( \frac{3a}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{4} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}\Rightarrow {{S}_{2}}=\frac{5{{a}^{2}}}{8}\)

Hình vuông C₃ có cạnh bằng \(\sqrt{{{\left( \frac{3}{4}.\frac{a\sqrt{10}}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{4}\frac{a\sqrt{10}}{4} \right)}^{2}}}=\frac{5{{a}^{2}}}{8}\Rightarrow {{S}_{3}}={{\left( \frac{5{{a}^{2}}}{8} \right)}^{2}}\)

Cứ tiếp tục như vậy ta tính được \({{S}_{n}}={{\left( \frac{5{{a}^{2}}}{8} \right)}^{n-1}}\)

Khi đó \(T={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}+...+{{S}_{n}}+...={{a}^{2}}\left( 1+\frac{5}{8}+{{\left( \frac{5}{8} \right)}^{2}}+....+{{\left( \frac{5}{8} \right)}^{n-1}}+... \right)\),

Trong đó \(1+\frac{5}{8}+{{\left( \frac{5}{8} \right)}^{2}}+....+{{\left( \frac{5}{8} \right)}^{n-1}}+...\) là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với \({{u}_{1}}=1\) và công bội \(q=\frac{5}{8}<1\), do đó \(1+\frac{5}{8}+{{\left( \frac{5}{8} \right)}^{2}}+....+{{\left( \frac{5}{8} \right)}^{n-1}}+...=\frac{1}{1-\frac{5}{8}}=\frac{8}{3}\)

\(\Rightarrow T=\frac{8{{a}^{2}}}{3}=\frac{50}{3}\Leftrightarrow a=\frac{5}{2}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.