Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(M\left( 1;2;3 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P

Câu hỏi số 243908:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(M\left( 1;2;3 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và cắt các tia \(Ox;\,\,Oy;\,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A;\,\,B;\,\,C\) \(\left( A;\,\,B;\,\,C\ne O \right)\) sao cho thể tích của tứ diện \(OABC\) nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

A. \(\frac{x}{6}+\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=1.\)

B. \(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1.\)

C. \(\frac{x}{2}+\frac{y}{6}+\frac{z}{18}=1.\)

D. \(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:243908

Phương pháp giải

+) Gọi \(A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)\)\(\Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.\)

+) Vì mặt phẳng chắn trên các trục tọa độ nên sử dụng phương trình đoạn chắn và áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho việc xác định thể tích min. Từ đó lập được phương trình mặt phẳng

Giải chi tiết

Gọi \(A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)\)\(\Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.\)

Vì \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc \(\Rightarrow \) Thể tích khối chóp \(O.ABC\) là \(V=\frac{1}{6}OA.OB.OC=\frac{abc}{6}.\)

Điểm \(M\in \left( P \right)\) suy ra \(1=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\ge 3\sqrt(3){\frac{1}{a}.\frac{2}{b}.\frac{3}{c}}\Leftrightarrow 1\ge {{3}^{3}}.\frac{6}{abc}\Rightarrow abc\ge 162\Rightarrow V\ge 27.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{a}=\frac{2}{b}=\frac{3}{c}=\frac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3 \\ & b=6 \\ & c=9 \\\end{align} \right..\) Vậy \(\left( P \right):\frac{x}{3}+\frac{y}{6}+\frac{z}{9}=1.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.