Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{a}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+bx{{e}^{x}}\). Tìm a và b biết rằng

Câu hỏi số 245441:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{a}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+bx{{e}^{x}}\). Tìm a và b biết rằng \(f'\left( 0 \right)=-22\) và \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=5\).

A. \(a=-2,b=-8\)

B. \(a=2,b=8\)

C. \(a=8,b=2\)

D. \(a=-8,b=-2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:245441

Phương pháp giải

+) Tính \(f'\left( 0 \right)\) và sử dụng giả thiết \(f'\left( 0 \right)=-22\) suy ra 1 phương trình chứa a,b.

+) Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}\) và sử dụng giả thiết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=5\) suy ra 1 phương trình nữa chứa a, b.

+) Giải hệ gồm 2 phương trình trên, tìm a và b.

Giải chi tiết

\(\begin{align} & f'\left( x \right)=-3.\frac{a}{{{\left( x+1 \right)}^{4}}}+b{{e}^{x}}+bx{{e}^{x}} \\ & \Rightarrow f'\left( 0 \right)=-3a+b=-22\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ & \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{a}{{{\left( x+1 \right)}^{3}}}+bx{{e}^{x}} \right)dx}=a\int\limits_{0}^{1}{{{\left( x+1 \right)}^{-3}}dx}+b\int\limits_{0}^{1}{x{{e}^{x}}dx}=a{{I}_{1}}+b{{I}_{2}} \\ & {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( x+1 \right)}^{-3}}dx}=\left. \frac{{{\left( x+1 \right)}^{-2}}}{-2} \right|_{0}^{1}=\frac{-1}{2}\left( \frac{1}{4}-1 \right)=\frac{3}{8} \\ \end{align}\)

Đặt\(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right. \Rightarrow {I_2} = \left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = e - \left. {{e^x}} \right|_0^1 = e - \left( {e - 1} \right) = 1\)

\(\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{3}{8}a+b=5\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=8 \\ & b=2 \\ \end{align} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.