Cho khối cầu (S) tâm I, bán kính R không đổi. Một khối trụ thay đồi có chiều cao h và bán

Câu hỏi số 246313:

Vận dụng

Cho khối cầu (S) tâm I, bán kính R không đổi. Một khối trụ thay đồi có chiều cao h và bán kính đáy r nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích của khối trụ lớn nhất.

A. \(h=R\sqrt{2}\)

B. \(h=\frac{R\sqrt{2}}{2}\)

C. \(h=\frac{R\sqrt{3}}{3}\)

D. \(h=\frac{2R\sqrt{3}}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:246313

Giải chi tiết

Ta có \({{r}^{2}}+{{\left( \frac{h}{2} \right)}^{2}}={{R}^{2}}\Rightarrow {{r}^{2}}={{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4}\)

Thể tích khối trụ là \(V=\pi {{r}^{2}}h=\pi \left( {{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4} \right)h=\frac{\pi }{4}\left( 4{{R}^{2}}-{{h}^{2}} \right)h\)

Xét hàm số \(f\left( h \right)=\left( 4{{R}^{2}}-{{h}^{2}} \right)h=4{{R}^{2}}h-{{h}^{3}}\) trên (0;2R)

Ta cần tìm GTLN của hàm số này

Có \(f'\left( h \right)=4{{R}^{2}}-3{{h}^{2}}=0\Leftrightarrow h={{h}_{0}}=\frac{2R\sqrt{3}}{3}\) (vì h > 0)

Lập bảng biến thiên ta thấy h₀ là điểm cực đại của hàm số f(h) và f(h₀) là GTLN của f(h) trên (0;2R)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.