Cho khai triển nhị thức Newton \({{\left( 2-3x \right)}^{2x}}\), biết rằng n là số nguyên dương

Câu hỏi số 246729:

Vận dụng

Cho khai triển nhị thức Newton \({{\left( 2-3x \right)}^{2x}}\), biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{3}+C_{2n+1}^{5}+...+C_{2n+1}^{2n+1}=1024\). Tìm hệ số của \({{x}^{7}}\) trong khai triển \({{\left( 2-3x \right)}^{2n}}\)

A. \(-2099520\)

B. \(-414720\)

C. \(414720\)

D. \(2099520\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:246729

Phương pháp giải

Sử dụng khai triển \({{\left( x+1 \right)}^{2n+1}}\), thay \(x=1\) và \(x=-1\) tìm tổng \(C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{3}+C_{2n+1}^{5}+...+C_{2n+1}^{2n+1}\Rightarrow \) giá trị của n.

Thay n vừa tìm được, khai triển nhị thức Newton của \({{\left( 2-3x \right)}^{2n}}\), tìm hệ số của \({{x}^{7}}.\)

Giải chi tiết

Ta có: \({{\left( x+1 \right)}^{2n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{2n+1}{C_{2n+1}^{k}{{x}^{k}}}\)

Khi \(x=1\) ta có: \({{2}^{2n+1}}=\sum\limits_{k=0}^{2n+1}{C_{2n+1}^{k}}=C_{2n+1}^{0}+C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}+C_{2n+1}^{3}+C_{2n+1}^{4}+C_{2n+1}^{5}+...+C_{2n+1}^{2n}+C_{2n+1}^{2n+1}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Khi \(x=-1\) ta có: \(0=\sum\limits_{k=0}^{2n+1}{C_{2n+1}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}}=C_{2n+1}^{0}-C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{2}-C_{2n+1}^{3}+C_{2n+1}^{4}-C_{2n+1}^{5}+...+C_{2n+1}^{2n}-C_{2n+1}^{2n+1}\,\,\left( 2 \right)\)

\(\begin{align} & \left( 1 \right)-\left( 2 \right)\Rightarrow {{2}^{2n+1}}=2\left( C_{2n+1}^{1}+C_{2n+1}^{3}+C_{2n+1}^{5}+...+C_{2n+1}^{2n+1} \right)=2.1024=2048 \\ & \Leftrightarrow 2n+1=11\Leftrightarrow 2n=10\Leftrightarrow n=5 \\ & \Rightarrow {{\left( 2-3x \right)}^{2n}}={{\left( 2-3x \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{.2}^{10-k}}.{{\left( -3x \right)}^{k}}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{.2}^{10-k}}.{{\left( -3 \right)}^{k}}.{{x}^{k}}} \\ \end{align}\)

Để tìm hệ số của \({{x}^{7}}\) ta cho \(k=7\Rightarrow \) Hệ số của \({{x}^{7}}\) là \(C_{10}^{7}{{.2}^{3}}.{{\left( -3 \right)}^{7}}=-2099520\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.