Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D’\) có cạnh bằng 2. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng

Câu hỏi số 252523:

Vận dụng

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D’\) có cạnh bằng 2. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng chứa đường chéo AC’. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.

\(4\sqrt{2}\)

\(\sqrt{6}\)

D. \(2\sqrt{6}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252523

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz để giải bài toán.

Giải chi tiết

Giả sử mặt phẳng chứa AC’ cắt hình lập phương theo thiết diện là tứ giác AEC’F. \(\left( E\in A'B';F\in CD \right)\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{align}\left( AEC'F \right)\cap \left( ABCD \right)=AF \\\left( AEC'F \right)\cap \left( A'B'C'D' \right)=EC' \\\left( ABCD \right)//\left( A'B'C'D' \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow AF//EC’\)

Tương tự ta chứng minh được AE // FC’

\(\Rightarrow AEC'F\) là hình bình hành \(\Rightarrow {{S}_{AEC'F}}=2{{S}_{AEC'}}\)

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho \(A'\left( 0;0;0 \right);B'\left( 2;0;0 \right);C'\left( 2;2;0 \right);D'\left( 0;2;0 \right);A\left( 0;0;2 \right),B\left( 2;0;2 \right)\), \(C\left( 2;2;2 \right);D\left( 0;2;2 \right)\) .

Gọi \(E\left( x;0;0 \right)\,\,\left( 0\le x\le 2 \right)\) ta có:

\(\overrightarrow{AC'}\left( 2;2;-2 \right);\overrightarrow{AE}=\left( x;0;-2 \right)\Rightarrow {{S}_{AEC'}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AC'};\overrightarrow{AE} \right] \right|=\frac{1}{2}\sqrt{8\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}\)

Ta có \({{x}^{2}}-2x+4={{\left( x-1 \right)}^{2}}+3\ge 3\Rightarrow {{S}_{AEC'}}\ge \frac{1}{2}\sqrt{8.3}=\sqrt{6}\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=1\), khi đó \({{S}_{AEC'\,\,\min }}=\sqrt{6}\Rightarrow {{S}_{AEC'F\,\,\min }}=2\sqrt{6}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.