Cho hàm số \(y=\frac{4x-3}{x-3}\) có đồ thị \(C\). Biết đồ thị \(\left( C \right)\) có hai điểm

Câu hỏi số 252525:

Vận dụng

Cho hàm số \(y=\frac{4x-3}{x-3}\) có đồ thị \(C\). Biết đồ thị \(\left( C \right)\) có hai điểm phân biệt M, N và khoảng cách từ M hoặc N đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. Khi đó MN có giá trị bằng:

\(MN=6\)

\(MN=4\sqrt{2}\)

\(MN=6\sqrt{2}\)

D. \(MN=4\sqrt{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252525

Phương pháp giải

Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Gọi điểm M thuộc đồ thị hàm số \(\left( C \right)\), tính khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận và sử dụng BĐT Cauchy tìm GTNN của biểu thức đó từ đó suy ra tọa độ các điểm M, N.

Tính độ dài MN.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Đồ thị hàm số có đường TCN \(y=4\,\,\left( {{d}_{1}} \right)\) và TCĐ \(x=3\,\,\left( {{d}_{2}} \right)\).

Gọi điểm \(M\in \left( C \right)\) có dạng \(M\left( a;\frac{4a-3}{a-3} \right)\) khi đó ta có:

\(\begin{align}d\left( M;{{d}_{2}} \right)=\left| a-3 \right|;\,\,d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| \frac{4a-3}{a-3}-4 \right|=\frac{9}{\left| a-3 \right|} \\\Rightarrow d\left( M;{{d}_{2}} \right)+d\left( M;{{d}_{1}} \right)=\left| a-3 \right|+\frac{9}{\left| a-3 \right|}\ge 2\sqrt{9}=3 \\\end{align}\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow \left| a-3 \right|=\frac{9}{\left| a-3 \right|}\Leftrightarrow {{\left( a-3 \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{align}a=6 \\a=0 \\\end{align} \right.\)

\(\Rightarrow M\left( 6;7 \right),\,\,N\left( 0;1 \right)\Rightarrow MN=\sqrt{{{6}^{2}}+{{6}^{2}}}=6\sqrt{2}\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.