Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và

Câu hỏi số 252893:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \({f}'\left( x \right)\in \left[ -\,1;1 \right]\) với \(\forall x\in \left( 0;2 \right).\) Biết \(f\left( 0 \right)=f\left( 2 \right)=1.\) Đặt \(I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x},\) phát biểu dưới đây là ĐÚNG ?

A. \(I\in \left( -\,\infty ;0 \right].\)

B. \(I\in \left( 0;1 \right].\)

C. \(I\in \left[ 1;+\,\infty \right).\)

D. \(I\in \left( 0;1 \right).\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:252893

Phương pháp giải

Áp dụng các đánh giá bất đẳng thức tích phân

Giải chi tiết

Ta có \(-\,1\le {f}'\left( t \right)\le 1\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}
\int\limits_0^x { - \,1\,{\rm{d}}t} \le \int\limits_0^x {f'\left( t \right)\,{\rm{d}}t} \le \int\limits_0^x {1\,{\rm{d}}t} \\
\int\limits_x^2 { - \,1\,{\rm{d}}t} \le \int\limits_x^2 {f'\left( t \right)\,{\rm{d}}t} \le \int\limits_x^2 {1\,{\rm{d}}t}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- \,x \le f\left( x \right) - 1 \le x\\
x - 2 \le 1 - f\left( x \right) \le 2 - x
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 1-x\le f\left( x \right)\le x+1 \\ & x-1\le f\left( x \right)\le 3-x \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{\left| x-1 \right|\,\text{d}x}\le \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}\le \int\limits_{0}^{2}{\min \left\{ x+1;\,\,3-x \right\}\,\text{d}x}\Leftrightarrow \,\,\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\,\text{d}x}\ge 1.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.