Cho hình chóp S.ABC có \(SA=SB=SC=3\), tam giác ABC vuông cân tại B và \(AC=2\sqrt{2}\). Gọi M, N lần

Câu hỏi số 254991:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có \(SA=SB=SC=3\), tam giác ABC vuông cân tại B và \(AC=2\sqrt{2}\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC. Trên 2 cạnh SA, SB lấy các điểm P, Q tương ứng sao cho SP = 1, SQ = 2. Tính thể tích V của khối tứ diện MNPQ.

\(V=\frac{\sqrt{3}}{12}\).

\(V=\frac{\sqrt{34}}{12}\).

\(V=\frac{\sqrt{7}}{18}\).

D. \(V=\frac{\sqrt{34}}{144}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:254991

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

Trong (SAB), kéo dài PQ cắt AB tại D.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SAB có \(\frac{PS}{PA}.\frac{DA}{DB}.\frac{QB}{QS}=1\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{DA}{DB}.\frac{1}{2}=1\Leftrightarrow \frac{DA}{DB}=4\Rightarrow \frac{BA}{BD}=3\)

Áp dụng định lí Menelaus trnong tam giác ADP có: \(\frac{BA}{BD}.\frac{QD}{DP}.\frac{SP}{SA}=1\Leftrightarrow 3.\frac{QD}{DP}.\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow \frac{QD}{DP}=1\)

\(\Rightarrow\frac{{{V}_{PQMN}}}{{{V}_{PDMN}}}=\frac{PQ}{PD}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{V}_{PQMN}}=\frac{1}{2}{{V}_{PDMN}}\)

Ta có:

\(\begin{align} {{S}_{DMN}}=\frac{1}{2}d\left( D;MN \right).MN=\frac{1}{2}d\left( C;MN \right).MN=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left( C;AB \right).\frac{1}{2}AB \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\frac{1}{4}.\frac{1}{2}d\left( C;AB \right).AB=\frac{1}{4}{{S}_{ABC}} \\ \end{align}\)

\(\begin{align} \frac{d\left( P;\left( DMN \right) \right)}{d\left( S;\left( ABC \right) \right)}=\frac{PA}{SA}=\frac{2}{3} \\ \Rightarrow \frac{{{V}_{P.DMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{2}{3}.\frac{1}{4}=\frac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{P.DMN}}=\frac{1}{6}{{V}_{S.ABC}} \\ \Rightarrow {{V}_{PQMN}}=\frac{1}{12}{{V}_{S.ABC}} \\ \end{align}\)

Ta có \(BA=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2\Rightarrow {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}A{{B}^{2}}=2\)

Xét tam giác vuông SAM có \(SM=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{9-2}=\sqrt{7}\)

\(\begin{align} \Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SM.{{S}_{ABC}}=\frac{1}{3}\sqrt{7}.2=\frac{2\sqrt{7}}{3} \\ \Rightarrow {{V}_{PQMN}}=\frac{1}{12}{{V}_{S.ABC}}=\frac{\sqrt{7}}{18} \\ \end{align}\)

Chọn: C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.