Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn

Câu hỏi số 263793:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=2018\) và \(g\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(g(x)+g(-x)=1,\forall x\in \mathbb{R}.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {f(x).g(x)dx} \).

A. \(I=2018\)

B. \(I = \frac{{1009}}{2}\)

C. \(I=4036\)

D. \(I=1008\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:263793

Phương pháp giải

Đổi biến số với tích phân hàm ẩn và kết hợp với điều kiện hàm số chẵn \(f\left( x \right)=f\left( -\,x \right)\)

Giải chi tiết

Ta có \(I=\int\limits_{-1}^{1}{f(x).g(x)\,\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{1}{f(x).\left[ 1-g(-\,x) \right]\,\text{d}x}=\int\limits_{-1}^{1}{f(x)\,\text{d}x}-\int\limits_{-1}^{1}{f(x).g(-\,x)\,\text{d}x}\)

Đặt \(t=-\,x\Leftrightarrow \text{d}t=-\,\text{d}x\) và đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 \Rightarrow t = 1\\x =1 \Rightarrow t = - 1\end{array} \right..\)

Khi đó \(I=\int\limits_{-1}^{1}{f(x).g(x)\,\text{d}x}=-\,\int\limits_{1}^{-\,1}{f(-\,t).g\left( -\,t \right)\,\text{d}t}=\int\limits_{-\,1}^{1}{f(t).g\left( -\,t \right)\,\text{d}t}=\int\limits_{-\,1}^{1}{f(x).g\left( -\,x \right)\,\text{d}x}\).

Vì \(f(x)\) là hàm số chẵn \(\int\limits_{-\,1}^{1}{f(x)\,\text{d}x}=2\,\,\times \,\,\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=4036.\)

Vậy \(I=4036-I\,\,\xrightarrow{{}}\,\,2I=4036\Rightarrow \,\,I=2018.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.