Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm di động trên đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số

Câu hỏi số 265115:

Vận dụng

Gọi \(M\), \(N\) là hai điểm di động trên đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-x+4\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) và \(N\) luôn song song với nhau. Khi đó đường thẳng \(MN\) luôn đi qua điểm cố định nào dưới đây?

\(\left( 1;-5 \right)\)

B. \(\left( -1;-5 \right)\)

C. \(\left( -1;5 \right)\)

D. \(\left( 1;5 \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265115

Phương pháp giải

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến, áp dụng điều kiện để hai tiếp tuyến song song và theo hệ thức Viet để tìm tọa độ trung điểm cố định mà MN luôn đi qua

Giải chi tiết

Gọi tọa độ điểm \(M\), \(N\) lần lượt là \(M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),\text{ }N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\).

Hệ số góc tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) và \(N\) lần lượt là

\({{k}_{1}}={y}'\left( {{x}_{1}} \right)=-3{{x}_{1}}^{2}+6{{x}_{1}}-1\); \({{k}_{2}}={y}'\left( {{x}_{2}} \right)=-3{{x}_{2}}^{2}+6{{x}_{2}}-1\)

Để tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) và \(N\) luôn song song với nhau điều kiện là

\(\left\{ \begin{align} & {{k}_{1}}={{k}_{2}} \\& {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \\\end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ -3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+6 \right]=0 \\& {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}} \\\end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\).

Ta có: \({{y}_{1}}+{{y}_{2}}=-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]+3\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+8\)

Do \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\) nên \({{y}_{1}}+{{y}_{2}}=-2\left( 4-3{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3\left( 4-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+8=10\).

Trung điểm của đoạn \(MN\) là \(I\left( 1;5 \right)\). Vậy đường thẳng \(MN\) luôn đi qua điểm cố định \(I\left( 1;5 \right)\).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.