Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: nếu hai

Câu hỏi số 265594:

Vận dụng cao

Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: nếu hai người có số người quen bằng nhau thì lại không quen nhau. Gọi S là số cặp người quen trong cuộc họp (cặp người quen nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp).

1) Xây dựng ví dụ để \(S=870\)

2) Chứng minh \(S\le 870\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265594

Giải chi tiết

1) Xây dựng ví dụ để \(S=870\)

Chia 45 người đã cho thành 9 nhóm sao cho nhóm thứ i có I người \(\left( 1\le i\le 9 \right)\)

Ta xét trường hợp khi mỗi người ở một nhóm đều quen tất cả mọi người ở nhóm khác, nhưng không quen ai cở chính nhóm của mình. Tức là mỗi người ở nhóm i sẽ quen đúng \(45-i\) người khác (45 người trừ đi i người ở chính nhóm anh ta).

Khi đó ta có \(S=\frac{1}{2}\left( 1.44+2.43+...+9.36 \right)=870\).

2) Chứng minh \(S\le 870\)

Gọi \({{x}_{i}}\) là số người quen đúng i người khác \(\left( 1\le i<45 \right)\). Nếu một người A nào đó quen i người thì anh ta không quen ai trong \({{x}_{i}}\) người này, nghĩa là A quen nhiều nhất là \(45-{{x}_{i}}\) người.

\(\Rightarrow i\le 45-{{x}_{i}}\Rightarrow {{x}_{i}}\le 45-i\).

Ta có \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+...+{{x}_{44}}=45\) và

\(\begin{align} & S=\frac{1}{2}\left( {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+....+44{{x}_{44}} \right) \\ & \,\,\,\,\le \frac{1}{2}\left( 36{{x}_{1}}+36{{x}_{2}}+....+36{{x}_{36}}+37{{x}_{37}}+....+44{{x}_{44}} \right) \\ & \,\,\,\,=\frac{1}{2}\left[ 36\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{44}} \right)+{{x}_{37}}+2{{x}_{38}}+...+8{{x}_{44}} \right] \\ & \,\,\,\,\le \frac{1}{2}\left( 36.45+1.8+2.7+...+8.1 \right)=870 \\ \end{align}\)

Vậy bài toán được chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link