Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, \(AB<AC\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Đường

Câu hỏi số 265593:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, \(AB<AC\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right).\) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại D và E. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy điểm P sao cho AP vuông góc với PC. Đường thẳng qua B song song với OP cắt PC tại Q. Chứng minh rằng :

1) PB = PQ.

2) O là trực tâm của tam giác ADE.

3) \(\widehat{PAO}=\widehat{QAC}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:265593

Phương pháp giải

1) Chứng minh tam giác PBQ và OCB đồng dạng.

2) Chứng minh \(OE\bot AB\) và \(OD\bot AE\)

3) +) Chứng minh PT = PQ \(\Rightarrow \Delta ATQ\) cân tại A.

+) Chứng minh \(\widehat{PAQ}=\widehat{OAC}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{AOC}}{2}\).

Giải chi tiết

1) PB = PQ.

Ta có: \(\widehat{BPQ}=\widehat{BOC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CB trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC).

\(\widehat{PQB}=\widehat{OPQ}\,\,\left( slt \right)=\widehat{OBC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung OC trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC).

\(\Rightarrow \Delta PBQ\sim \Delta OCB\ \ \left( g-g \right)\Rightarrow \frac{PB}{OC}=\frac{PQ}{OB}.\)

Mà \(OB=OC\ \ \left( =R \right)\Rightarrow PB=PQ\ \ \left( dpcm \right).\)

2) O là trực tâm của tam giác ADE.

\(\widehat{OBE}=\widehat{OCE}=\widehat{OAE}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OE trong đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC).

\(\widehat{OBA}=\widehat{OAB}\) (tam giác OAB cân tại O)

\(\Rightarrow \widehat{OBE}+\widehat{OBA}=\widehat{OAE}+\widehat{OAB}\Rightarrow \widehat{EAB}=\widehat{EBA}\)

\(\Rightarrow \Delta EAB\) cân tại \(E\Rightarrow EA=EB\Rightarrow E\) thuộc đường trung trực của \(AB.\)

Lại có \(OA=OB\ \ \left( =R \right)\Rightarrow O\) thuộc đường trung trực của \(AB.\(

\(\Rightarrow OE\) là trung trực của AB \(\Rightarrow OE\bot AB.\)

Chứng minh tương tự ta có \(OD\bot AC.\)

\(\Rightarrow O\) là trực tâm tam giác \(ADE.\)

3) \(\widehat{PAO}=\widehat{QAC}.\)

Gọi T là giao điểm của CP và (O).

Có \(\widehat{BPC}=\widehat{BOC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC)

Mà \(\widehat{BOC}=2\widehat{BTC}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung BC của (O)).

\(\Rightarrow \widehat{BPC}=2\widehat{BTC}=2\widehat{BTP}\)

Xét tam giác \(BTP\) có: \(\widehat{BPC}=\widehat{BTP}+\widehat{TBP}\) (tính chất góc ngoài của tam giác)

\(\Rightarrow 2\widehat{BTP}=\widehat{BTP}+\widehat{TBP}\Leftrightarrow \widehat{BTP}=\widehat{TBP}\Rightarrow \Delta PTB\) cân tại P \(\Rightarrow PT=PB\)

Mà \(PB=PQ\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow PT=PQ\Rightarrow \Delta PTQ\) có đường cao AP đồng thời là trung tuyến.

\(\Rightarrow \Delta ATQ\) cân tại A.

\(\Rightarrow \widehat{PAQ}=\widehat{PAT}={{90}^{0}}-\widehat{ATC}\) (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau).

Mà \(\widehat{ATC}=\widehat{ABC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) của đường tròn (O)

\(\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC) của đường tròn (O)).

\(\Rightarrow \widehat{PAQ}=\widehat{PAT}={{90}^{0}}-\frac{1}{2}\widehat{AOC}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{AOC}}{2}\)

Xét tam giác OAC cân tại A có \(\widehat{OAC}+\widehat{OCA}+\widehat{AOC}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{OAC}=\widehat{OCA}=\frac{{{180}^{0}}-\widehat{AOC}}{2}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow \widehat{PAQ}=\widehat{OAC} \\ & \Rightarrow \widehat{PAQ}+\widehat{QAO}=\widehat{OAC}+\widehat{QAO}\Rightarrow \widehat{PAO}=\widehat{QAC}\,\,\left( dpcm \right) \\ \end{align}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link