Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB. Đường thẳng AC cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Đường thẳng BK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại L. Các đường thẳng CL và KM cắt nhau tại E. Chứng minh rằng E nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM
Quảng cáo
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB. Đường thẳng AC cắt (O) tại điểm thứ hai là K. Đường thẳng BK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại L. Các đường thẳng CL và KM cắt nhau tại E. Chứng minh rằng E nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM.
Xét đường tròn (O) có \(\widehat {BAK} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BAK}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) \( \Rightarrow BK\) là đường kính của đường tròn (O).
Ta có \(\widehat {BMK}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)\( \Rightarrow \widehat {BMK} = {90^0}\;\;hay\;\;KM \bot BC.\)
\( \Rightarrow EM\) là đường cao của \(\Delta EBC.\)
Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BAC}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Rightarrow \) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kính BC.
Ta có: \(\widehat {BLC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Rightarrow \widehat {BLC} = {90^0}\;\;hay\;\;BL \bot LC \Rightarrow BL \bot EC.\)
\( \Rightarrow BL\) là đường cao của \(\Delta EBC.\)
Xét \(\Delta EBC\) ta có: \(EM\) và \(BL\) là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại \(K.\;\)
\( \Rightarrow K\) là trực tâm \(\Delta EBC\) \( \Rightarrow KC \bot BE.\)
Mà \(KC \bot BA\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow B;A;E\) thẳng hàng \( \Rightarrow \widehat {EAC} = {90^0}.\)
Xét tứ giác \(AECM\) ta có: \(\widehat {EAC} = \widehat {EMC} = {90^0}.\)
Mà hai góc này cùng nhìn đoạn \(EC.\)
\( \Rightarrow AECM\) là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).
Hay \(E\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACM.\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
