a) Chứng minh rằng \({x^4} - x + \frac{1}{2} > 0\) với mọi số thực x. b) Cho x, y là các số thực

Câu hỏi số 266375:

Vận dụng

a) Chứng minh rằng \({x^4} - x + \frac{1}{2} > 0\) với mọi số thực x.

b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện \({x^2} - xy + {y^2} = 3\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2}\).

A. \(\begin{array}{l}{P_{\max }} = 8\\{P_{\min }} = 2\end{array}\)

B. \(\begin{array}{l}{P_{\max }} = 6\\{P_{\min }} = 3\end{array}\)

C. \(\begin{array}{l}{P_{\max }} = 6\\{P_{\min }} = 2\end{array}\)

D. \(\begin{array}{l}{P_{\max }} = 9\\{P_{\min }} = 2\end{array}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:266375

Phương pháp giải

a) Thêm bớt để tạo hằng đẳng thức, chứng minh dấu bằng không xảy ra.

b) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số \({x^2};{y^2}\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng \({x^4} - x + \frac{1}{2} > 0\) với mọi số thực x.

Ta có \({x^4} - x + \frac{1}{2} = {x^4} - {x^2} + \frac{1}{4} + {x^2} - x + \frac{1}{4} = {\left( {{x^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - \frac{1}{2} = 0\\x - \frac{1}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{1}{2}\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) (vô lí), do đó dấu bằng không thể xảy ra.

Vậy \({x^4} - x + \frac{1}{2} > 0\) với mọi số thực x.

b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện \({x^2} - xy + {y^2} = 3\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2}\).

Ta có \({x^2} - xy + {y^2} = 3 \Rightarrow P - xy = 3 \Rightarrow xy = P - 3\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số \({x^2};\,\,{y^2}\) ta có \({x^2} + {y^2} \ge 2\sqrt {{x^2}{y^2}} = 2\left| {xy} \right| \Rightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \ge \left| {xy} \right|\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \le xy \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \Rightarrow - \frac{P}{2} \le xy \le \frac{P}{2}\\ \Rightarrow - \frac{P}{2} \le P - 3 \le \frac{P}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{P}{2} \le P - 3\\P - 3 \le \frac{P}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le \frac{{3P}}{2}\\\frac{P}{2} \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le P \le 6\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Rightarrow {x^2} = {y^2} \Leftrightarrow \left| x \right| = \left| y \right|\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + {x^2} + {x^2} = 3\\{x^2} - {x^2} + {x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| x \right| = \left| y \right| = 1\\\left| x \right| = \left| y \right| = \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Vậy \({P_{\max }} = 6 \Leftrightarrow \left| x \right| = \left| y \right| = \sqrt 3 ;\,\,{P_{\min }} = 2 \Leftrightarrow \left| x \right| = \left| y \right| = 1\).

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link