Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{81{x^2} + 18225x + 1}}{{9x}} - \frac{{6\sqrt x +

Câu hỏi số 268271:

Vận dụng

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{81{x^2} + 18225x + 1}}{{9x}} - \frac{{6\sqrt x + 8}}{{x + 1}}\) với \(x > 0\)

A. Min P=2016

B. Min P=2019

C. Min P=2022

D. Min P=2018

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:268271

Giải chi tiết

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{81{x^2} + 18225x + 1}}{{9x}} - \frac{{6\sqrt x + 8}}{{x + 1}}\) với \(x > 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \frac{{81{x^2} + 18225x + 1}}{{9x}} - \frac{{6\sqrt x + 8}}{{x + 1}}\\P = 9x + 2025 + \frac{1}{{9x}} - \frac{{6\sqrt x + 8}}{{x + 1}}\end{array}\)

Ta chứng minh \(\frac{{6\sqrt x + 8}}{{x + 1}} \le 9\,\,\forall x > 0\).

Giả sử :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{{6\sqrt x + 8}}{{x + 1}} \le 9\\ \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt x + 8}}{{x + 1}} - \frac{{9x + 9}}{{x + 1}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{6\sqrt x + 8 - 9x - 9}}{{x + 1}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - 9x + 6\sqrt x - 1}}{{x + 1}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - {{\left( {3\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}} \le 0\end{array}\)

Ta có \(x > 0 \Leftrightarrow x + 1 > 1;\,\,{\left( {3\sqrt x - 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow \frac{{ - {{\left( {3\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{x + 1}} \le 0\,\,\forall x > 0\)

\( \Rightarrow \frac{{6\sqrt x + 8}}{{x + 1}} \le 9\,\,\forall x > 0 \Rightarrow - \frac{{6\sqrt x + 8}}{{x + 1}} \ge - 9\forall x > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \ge 2\sqrt {9x.\frac{1}{{9x}}} + 2025 - 9\\ \Leftrightarrow P \ge 2018\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9x = \frac{1}{{9x}}\\3\sqrt x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}81{x^2} = 1\\\sqrt x = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\).

Vậy \({P_{\min }} = 2018 \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link