Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|\left( {z - 3 - i} \right) + 2i = \left( {4 - i}

Câu hỏi số 271894:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z \right|\left( {z - 3 - i} \right) + 2i = \left( {4 - i} \right)z?\)

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:271894

Phương pháp giải

- Chuyển z sang một vế của phương trình và lấy mô đun hai vế.

- Đặt \(t = \left| z \right| \ge 0\) giải phương trình ẩn t

- Nhận xét với mỗi \(t > 0\) đều có một số phức \(z\) thỏa mãn nên số nghiệm \(t > 0\) chính là số các số phức thỏa mãn.

Giải chi tiết

Phương trình \(\left| z \right|\left( {z - 3 - i} \right) + 2i = \left( {4 - i} \right)z \Leftrightarrow z\left( {\left| z \right| - 4 + i} \right) = 3\left| z \right| + i\left| z \right| - 2i\)

Đặt \(\left| z \right|=t\left( t\ge 0 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}t\left| {\left( {t - 4 + i} \right)} \right| = \left| {3t + \left( {t - 2} \right)i} \right| \Leftrightarrow t\sqrt {{{\left( {t - 4} \right)}^2} + 1} = \sqrt {9{t^2} + {{\left( {t - 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {t^2}\left( {{t^2} - 8t + 17} \right) = 9{t^2} + {t^2} - 4t + 4\\ \Leftrightarrow {t^4} - 8{t^3} + 17{t^2} = 10{t^2} - 4t + 4\\ \Leftrightarrow {t^4} - 8{t^3} + 7{t^2} + 4t - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right)\left( {{t^3} - 7{t^2} + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {tm} \right)\\{t^3} - 7{t^2} + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {tm} \right)\\t = 0,803\left( {tm} \right)\\t = - 0,72\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 6,92\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ứng với mỗi giá trị \(t\ge 0\Rightarrow z=\frac{3\left| z \right|+i\left| z \right|-2i}{\left| z \right|-4+i}\) nên đều có một số phức \(z\) thỏa mãn

Vậy có tất cả 3 số phức thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.