a) Rút gọn biểu thức

Câu hỏi số 272811:

Vận dụng cao

a) Rút gọn biểu thức \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}.\)

b) Chứng minh rằng \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}}>2\left( \sqrt{2018}-1 \right)\).

A. a) \(A=\sqrt{2016}-2\)

B. a) \(A=\sqrt{2017}-1\)

C. a) \(A=\sqrt{2018}-1\)

D. a) \(A=\sqrt{2018}-1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272811

Phương pháp giải

a) Sử dụng phép liên hợp để khử căn thức ở mẫu

b) Sử dụng kết quả ở câu a

Giải chi tiết

\(\begin{align} & A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}} \\ & =\frac{1-\sqrt{2}}{\left( 1+\sqrt{2} \right)\left( 1-\sqrt{2} \right)}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right)}+...+\frac{\sqrt{2017}-\sqrt{2018}}{\left( \sqrt{2017}+\sqrt{2018} \right)\left( \sqrt{2017}-\sqrt{2018} \right)} \\ & =\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\frac{\sqrt{2017}-\sqrt{2018}}{2017-2018} \\ & =\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2018}-\sqrt{2017} \\ & =\sqrt{2018}-1 \\\end{align}\)

Vậy \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}=\sqrt{2018}-1\)

Ta có:

\(\begin{align} & +)\ \ 1<\sqrt{2}\Rightarrow 2<1+\sqrt{2}\Rightarrow 1>\frac{2}{1+\sqrt{2}} \\ & +)\ \ \sqrt{2}<\sqrt{3}\Rightarrow 2\sqrt{2}<\sqrt{2}+\sqrt{3}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \\ & +)\ ............... \\ & +)\ \sqrt{2017}<\sqrt{2018}\Rightarrow 2\sqrt{2017}<\sqrt{2017}+\sqrt{2018}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2017}}>\frac{2}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}. \\\end{align}\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta có:

\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}}>2\left( \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}} \right)\)

Mà có : \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}=\sqrt{2018}-1\) (chứng minh ở câu a)

Suy ra \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}}>2\left( \sqrt{2018}-1 \right)\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link