a) Rút gọn biểu thức

Câu hỏi số 272811:

Vận dụng cao

a) Rút gọn biểu thức \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}.\)

b) Chứng minh rằng \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}}>2\left( \sqrt{2018}-1 \right)\).

A. a) \(A=\sqrt{2016}-2\)

B. a) \(A=\sqrt{2017}-1\)

C. a) \(A=\sqrt{2018}-1\)

D. a) \(A=\sqrt{2018}-1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:272811

Phương pháp giải

a) Sử dụng phép liên hợp để khử căn thức ở mẫu

b) Sử dụng kết quả ở câu a

Giải chi tiết

\(\begin{align} & A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}} \\ & =\frac{1-\sqrt{2}}{\left( 1+\sqrt{2} \right)\left( 1-\sqrt{2} \right)}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right)}+...+\frac{\sqrt{2017}-\sqrt{2018}}{\left( \sqrt{2017}+\sqrt{2018} \right)\left( \sqrt{2017}-\sqrt{2018} \right)} \\ & =\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\frac{\sqrt{2017}-\sqrt{2018}}{2017-2018} \\ & =\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2018}-\sqrt{2017} \\ & =\sqrt{2018}-1 \\\end{align}\)

Vậy \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}=\sqrt{2018}-1\)

Ta có:

\(\begin{align} & +)\ \ 1<\sqrt{2}\Rightarrow 2<1+\sqrt{2}\Rightarrow 1>\frac{2}{1+\sqrt{2}} \\ & +)\ \ \sqrt{2}<\sqrt{3}\Rightarrow 2\sqrt{2}<\sqrt{2}+\sqrt{3}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \\ & +)\ ............... \\ & +)\ \sqrt{2017}<\sqrt{2018}\Rightarrow 2\sqrt{2017}<\sqrt{2017}+\sqrt{2018}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2017}}>\frac{2}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}. \\\end{align}\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta có:

\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}}>2\left( \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}} \right)\)

Mà có : \(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}+\sqrt{2018}}=\sqrt{2018}-1\) (chứng minh ở câu a)

Suy ra \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2017}}>2\left( \sqrt{2018}-1 \right)\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link